Um cubo de aresta a porta uma carga pontual q em cada vértice. Mostre que a força elétrica resultante sobre qualquer uma das cargas é dada por
F=\frac{0,262 q^{2}}{\varepsilon_{0} a^{2}},
e está dirigida ao longo da diagonal do cubo e para fora dele.

Passo 1

O enunciado dá um cubo de aresta a com uma carga pontual q em cada um dos oito vértices. Pede-se a força elétrica resultante sobre qualquer uma das cargas (mesma para todas por simetria), tanto o módulo quanto a direção, e que se mostre que
F=\frac{0,262\,q^{2}}{\varepsilon_{0} a^{2}},
com a força dirigida ao longo da diagonal do cubo e apontando para fora dele. Informações relevantes extraídas do enunciado: há 8 cargas iguais q, aresta do cubo igual a a, e queremos a força sobre uma carga em um vértice devido às outras 7.

Passo 2

Apresento a lei de Coulomb vetorial que vamos usar. A força elétrica exercida sobre uma carga q_{1} na posição \mathbf{r}_{1} por uma carga q_{2} na posição \mathbf{r}_{2} é
\mathbf{F}_{1\leftarrow2}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\,\frac{q_{1}q_{2}}{\lVert \mathbf{r}_{1}-\mathbf{r}_{2}\rVert^{3}}\,(\mathbf{r}_{1}-\mathbf{r}_{2}).
Explicando cada símbolo: \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo, \mathbf{r}_{1}-\mathbf{r}_{2} é o vetor que vai da carga fonte ( q_{2}) até a carga sobre a qual calculamos a força ( q_{1}), e \lVert\cdot\rVert é o módulo (norma) do vetor. Essa fórmula já dá direção e sentido (repulsão se cargas têm mesmo sinal).

Passo 3

Usamos simetria para simplificar a direção da força total. Escolho a carga que quero analisar colocá-la na origem \mathbf{0}=(0,0,0) e faço com que as arestas do cubo sigam os eixos positivos x,y,z. Assim, os outros vértices têm coordenadas:
(a,0,0),\\ (0,a,0),\\ (0,0,a),\\ (a,a,0),\\ (a,0,a),\\ (0,a,a),\\ (a,a,a).
Por simetria do cubo: se girarmos o cubo em torno da diagonal que sai da origem em direção a (a,a,a) a configuração das cargas é invariante; portanto a força resultante sobre a carga na origem só pode ter componente ao longo dessa diagonal. Observação de sentido: todas as outras cargas estão na “região interna/para dentro” do cubo (coordenadas positivas) e irão repelir a carga na origem para fora do cubo, ou seja, ao longo da diagonal que aponta para (-1,-1,-1). Assim a força total é ao longo da diagonal e apontando para fora do cubo.

Passo 4

Escrevo a força total como soma das forças de cada uma das sete cargas. Para a carga na origem ( q em \mathbf{0}) e uma carga fonte em \mathbf{r}_{i} com \mathbf{r}_{i}\neq\mathbf{0}, a contribuição é
\mathbf{F}_{i}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{q^{2}}{\lVert\mathbf{r}_{i}\rVert^{3}}(\mathbf{0}-\mathbf{r}_{i})=-\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{q^{2}}{\lVert\mathbf{r}_{i}\rVert^{3}}\mathbf{r}_{i}.
Portanto a força total é
\mathbf{F}_{\text{total}}=-\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}q^{2}\sum_{i=1}^{7}\frac{\mathbf{r}_{i}}{\lVert\mathbf{r}_{i}\rVert^{3}}.

Passo 5

Como sabemos que a força está ao longo da diagonal que aponta para fora, tomo o versor (vetor unitário) nessa direção:
\mathbf{n}=\frac{(-1,-1,-1)}{\sqrt{3}}.
O módulo da força (positivo) é o produto escalar \,F=\mathbf{F}_{\text{total}}\cdot\mathbf{n}. Fazendo o produto escalar e usando a expressão da soma,
F=-\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}q^{2}\sum_{i=1}^{7}\frac{\mathbf{r}_{i}\cdot\mathbf{n}}{\lVert\mathbf{r}_{i}\rVert^{3}}.
Agora avalio \mathbf{r}_{i}\cdot\mathbf{n}. Para um vértice \mathbf{r}_{i}=(x,y,z) temos \mathbf{r}_{i}\cdot\mathbf{n}=(-1/\sqrt{3})(x+y+z). Substituindo isso:
F=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\,\frac{q^{2}}{\sqrt{3}}\sum_{i=1}^{7}\frac{x_{i}+y_{i}+z_{i}}{\lVert\mathbf{r}_{i}\rVert^{3}}.
Note que cada termo é positivo porque x_{i}+y_{i}+z_{i}>0 e isso confirma que F>0.

Passo 6

Agora calculamos os termos da soma por grupos segundo a distância ao vértice na origem.
Grupo A — vértices adjacentes por aresta: (a,0,0),(0,a,0),(0,0,a).
Para cada um desses pontos temos x+y+z=a e \lVert\mathbf{r}\rVert=a. Então cada termo é
\frac{x+y+z}{\lVert\mathbf{r}\rVert^{3}}=\frac{a}{a^{3}}=\frac{1}{a^{2}}.
Há três desses, contribuição total do Grupo A:
\frac{3}{a^{2}}.

Passo 7

Grupo B — vértices na diagonal da face: (a,a,0),(a,0,a),(0,a,a).
Para cada um: x+y+z=2a e \lVert\mathbf{r}\rVert=\sqrt{2}\,a. Então
\frac{x+y+z}{\lVert\mathbf{r}\rVert^{3}}=\frac{2a}{(\sqrt{2}\,a)^{3}}=\frac{2a}{2\sqrt{2}\,a^{3}}=\frac{1}{\sqrt{2}\,a^{2}}.
Há três desses, contribuição total do Grupo B:
\frac{3}{\sqrt{2}\,a^{2}}.

Passo 8

Grupo C — vértice oposto: (a,a,a).
Aqui x+y+z=3a e \lVert\mathbf{r}\rVert=\sqrt{3}\,a. Então
\frac{x+y+z}{\lVert\mathbf{r}\rVert^{3}}=\frac{3a}{(\sqrt{3}\,a)^{3}}=\frac{3a}{3\sqrt{3}\,a^{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}\,a^{2}}.

Passo 9

Somando as contribuições dos três grupos obtemos
\sum_{i=1}^{7}\frac{x_{i}+y_{i}+z_{i}}{\lVert\mathbf{r}_{i}\rVert^{3}}=\frac{1}{a^{2}}\Bigl(3+\frac{3}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}\Bigr).
Substituindo na expressão do passo 5:
F=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\,\frac{q^{2}}{\sqrt{3}}\cdot\frac{1}{a^{2}}\Bigl(3+\frac{3}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}\Bigr).

Passo 10

Agora calculo o fator numérico. Primeiro avalio o parêntese:
3+\frac{3}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}\approx 3+2{,}12132034+0{,}57735027\approx 5{,}69867061.
Dividindo por \sqrt{3}:
\frac{1}{\sqrt{3}}\Bigl(3+\frac{3}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}\Bigr)\approx\frac{5{,}69867061}{1{,}73205081}\approx 3{,}28986813.
Agora incluo o fator 1/(4\pi):
\frac{1}{4\pi}\times 3{,}28986813\approx\frac{3{,}28986813}{12{,}5663706}\approx 0{,}261806\approx 0{,}262.
Portanto
F\approx\frac{0{,}262\,q^{2}}{\varepsilon_{0} a^{2}}.

Resposta

F=\frac{0,262\,q^{2}}{\varepsilon_{0} a^{2}}
Direção: ao longo da diagonal que sai do vértice considerado e aponta para fora do cubo (vetor proporcional a (-1,-1,-1)).

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