Um cubo de aresta
porta uma carga pontual
em cada vértice. Mostre que a força elétrica resultante sobre qualquer uma das cargas é dada por
e está dirigida ao longo da diagonal do cubo e para fora dele.
Passo 1
O enunciado dá um cubo de aresta
com uma carga pontual
em cada um dos oito vértices. Pede-se a força elétrica resultante sobre qualquer uma das cargas (mesma para todas por simetria), tanto o módulo quanto a direção, e que se mostre que
com a força dirigida ao longo da diagonal do cubo e apontando para fora dele. Informações relevantes extraídas do enunciado: há
cargas iguais
, aresta do cubo igual a
, e queremos a força sobre uma carga em um vértice devido às outras
.
Passo 2
Apresento a lei de Coulomb vetorial que vamos usar. A força elétrica exercida sobre uma carga
na posição
por uma carga
na posição
é
Explicando cada símbolo:
é a permissividade do vácuo,
é o vetor que vai da carga fonte (
) até a carga sobre a qual calculamos a força (
), e
é o módulo (norma) do vetor. Essa fórmula já dá direção e sentido (repulsão se cargas têm mesmo sinal).
Passo 3
Usamos simetria para simplificar a direção da força total. Escolho a carga que quero analisar colocá-la na origem
e faço com que as arestas do cubo sigam os eixos positivos
. Assim, os outros vértices têm coordenadas:
Por simetria do cubo: se girarmos o cubo em torno da diagonal que sai da origem em direção a
a configuração das cargas é invariante; portanto a força resultante sobre a carga na origem só pode ter componente ao longo dessa diagonal. Observação de sentido: todas as outras cargas estão na “região interna/para dentro” do cubo (coordenadas positivas) e irão repelir a carga na origem para fora do cubo, ou seja, ao longo da diagonal que aponta para
. Assim a força total é ao longo da diagonal e apontando para fora do cubo.
Passo 4
Escrevo a força total como soma das forças de cada uma das sete cargas. Para a carga na origem (
em
) e uma carga fonte em
com
, a contribuição é
Portanto a força total é
Passo 5
Como sabemos que a força está ao longo da diagonal que aponta para fora, tomo o versor (vetor unitário) nessa direção:
O módulo da força (positivo) é o produto escalar
. Fazendo o produto escalar e usando a expressão da soma,
Agora avalio
. Para um vértice
temos
. Substituindo isso:
Note que cada termo é positivo porque
e isso confirma que
.
Passo 6
Agora calculamos os termos da soma por grupos segundo a distância ao vértice na origem.
Grupo A — vértices adjacentes por aresta:
.
Para cada um desses pontos temos e
. Então cada termo é
Para cada um desses pontos temos
Há três desses, contribuição total do Grupo A:
Passo 7
Grupo B — vértices na diagonal da face:
.
Para cada um: e
. Então
Para cada um:
Há três desses, contribuição total do Grupo B:
Passo 8
Grupo C — vértice oposto:
.
Aqui e
. Então
Aqui
Passo 9
Somando as contribuições dos três grupos obtemos
Substituindo na expressão do passo 5:
Passo 10
Agora calculo o fator numérico. Primeiro avalio o parêntese:
Dividindo por
:
Agora incluo o fator
:
Portanto
Resposta
Direção: ao longo da diagonal que sai do vértice considerado e aponta para fora do cubo (vetor proporcional a
).