Uma placa não-condutora infinita possui uma densidade superficial de cargas
. (a) Qual é o trabalho realizado pelo campo elétrico produzido pela placa se uma partícula de carga
é deslocada da superfície da placa para um ponto
situado a uma distância
da superfície da placa? (b) Se o potencial elétrico
é definido como sendo zero na superfície da placa, qual é o valor de
no ponto
?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (a) o trabalho realizado pelo campo elétrico quando uma carga é deslocada da superfície de uma placa infinita não-condutora até um ponto
a uma distância
da superfície; (b) o potencial elétrico em
supondo que o potencial na superfície seja zero.
Dados fornecidos (vou listar e já padronizar as unidades):
Dados fornecidos (vou listar e já padronizar as unidades):
O enunciado traz
com uma notação confusa:
. Vou interpretar isso como um provável erro de impressão e tomar
que é um valor fisicamente razoável (um múltiplo da carga elementar). Se essa interpretação for diferente do que você tem, me avisa depois, mas vou seguir com esse valor.
Também usaremos a constante do vácuo
Também usaremos a constante do vácuo
Passo 2
Entendendo o campo elétrico de uma placa infinita e calculando
.
Explicação da matéria (Gauss): para uma folha plana infinita com densidade superficial de carga
o campo elétrico tem módulo constante e, por simetria, aponta perpendicularmente à placa. Aplicando a Lei de Gauss usando uma caixa cilíndrica (pílula gaussiana) que atravessa a placa, obtém-se a relação
Aqui:
-
é o módulo do campo elétrico em qualquer ponto a uma distância finita da placa; -
é a densidade superficial de carga (C/m ); -
é a permissividade do vácuo.
Agora calculamos
numericamente:
Fazendo conta:
Passo 3
Definição de trabalho feito pelo campo elétrico e cálculo de
.
Conceito: o trabalho realizado pelo campo elétrico quando desloca uma carga
de um ponto
para um ponto
é
No nosso caso o campo é uniforme (módulo constante e direção radial perpendicular à placa) e o deslocamento é na direção do campo (saindo da superfície para longe da placa). Portanto o escalar
e a integral fica simplesmente
. Assim
Observação sobre sinal: a placa é positiva (
), o campo aponta para fora da placa; uma carga positiva
é empurrada pelo campo para longe, então o campo realiza trabalho positivo ao afastar a carga — por isso usamos
.
Agora substituímos valores (já convertidos):
Fazendo a conta:
Passo 4
Definição de potencial elétrico e cálculo de
no ponto
.
Definição: a diferença de potencial entre dois pontos é
Tomando
como a superfície da placa e
como o ponto
a distância
, e sabendo que o enunciado define
, temos
Substituindo
e
:
Em notação científica:
Passo 5
Checagem rápida da consistência entre trabalho e potencial.
Relação conhecida: o trabalho realizado pelo campo ao mover
de
para
é
Com
e
temos
que coincide com o resultado do Passo 3, confirmando consistência.
Resposta
(a)
(b)
(b)