Uma placa não-condutora infinita possui uma densidade superficial de cargas \sigma= 15,80 \mathrm{pC} / \mathrm{m}^{2}. (a) Qual é o trabalho realizado pelo campo elétrico produzido pela placa se uma partícula de carga q= 11,60=10^{+19} \mathrm{C} é deslocada da superfície da placa para um ponto P situado a uma distância d=3,56 \mathrm{~cm} da superfície da placa? (b) Se o potencial elétrico V é definido como sendo zero na superfície da placa, qual é o valor de V no ponto P ?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (a) o trabalho realizado pelo campo elétrico quando uma carga é deslocada da superfície de uma placa infinita não-condutora até um ponto P a uma distância d da superfície; (b) o potencial elétrico em P supondo que o potencial na superfície seja zero.
Dados fornecidos (vou listar e já padronizar as unidades):
\sigma = 15{,}80\\ \mathrm{pC/m^{2}} = 15{,}80\times10^{-12}\\ \mathrm{C/m^{2}},
d = 3{,}56\\ \mathrm{cm} = 0{,}0356\\ \mathrm{m}.
O enunciado traz q com uma notação confusa: q= 11,60=10^{+19}\\ \mathrm{C}. Vou interpretar isso como um provável erro de impressão e tomar
q = 11{,}60\times10^{-19}\\ \mathrm{C} = 1{,}16\times10^{-18}\\ \mathrm{C},
que é um valor fisicamente razoável (um múltiplo da carga elementar). Se essa interpretação for diferente do que você tem, me avisa depois, mas vou seguir com esse valor.
Também usaremos a constante do vácuo
\varepsilon_0 = 8{,}854\times10^{-12}\\ \mathrm{C^2/(N\cdot m^2)}.

Passo 2

Entendendo o campo elétrico de uma placa infinita e calculando E.
Explicação da matéria (Gauss): para uma folha plana infinita com densidade superficial de carga \sigma o campo elétrico tem módulo constante e, por simetria, aponta perpendicularmente à placa. Aplicando a Lei de Gauss usando uma caixa cilíndrica (pílula gaussiana) que atravessa a placa, obtém-se a relação
E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}.
Aqui:
  • E é o módulo do campo elétrico em qualquer ponto a uma distância finita da placa;
  • \sigma é a densidade superficial de carga (C/m ^2);
  • \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo.
Agora calculamos E numericamente:
E = \frac{15{,}80\times10^{-12}}{2\cdot 8{,}854\times10^{-12}}\\ \mathrm{N/C}.
Fazendo conta:
E = \frac{15{,}80}{2\cdot 8{,}854}\\ \mathrm{N/C} \approx 0{,}8926\\ \mathrm{N/C}.

Passo 3

Definição de trabalho feito pelo campo elétrico e cálculo de W.
Conceito: o trabalho realizado pelo campo elétrico quando desloca uma carga q de um ponto A para um ponto B é
W_{\text{campo}} = q\int_A^B \vec{E}\cdot d\vec{\ell}.
No nosso caso o campo é uniforme (módulo constante e direção radial perpendicular à placa) e o deslocamento é na direção do campo (saindo da superfície para longe da placa). Portanto o escalar \vec{E}\cdot d\vec{\ell} = E\,dl e a integral fica simplesmente E d. Assim
W_{\text{campo}} = q E d.
Observação sobre sinal: a placa é positiva ( \sigma>0), o campo aponta para fora da placa; uma carga positiva q>0 é empurrada pelo campo para longe, então o campo realiza trabalho positivo ao afastar a carga — por isso usamos +qEd.
Agora substituímos valores (já convertidos):
W_{\text{campo}} = \bigl(1{,}16\times10^{-18}\bigr)\times\bigl(0{,}8926\bigr)\times\bigl(0{,}0356\bigr)\\ \mathrm{J}.
Fazendo a conta:
W_{\text{campo}} \approx 3{,}68\times10^{-20}\\ \mathrm{J}.

Passo 4

Definição de potencial elétrico e cálculo de V no ponto P.
Definição: a diferença de potencial entre dois pontos é
V(B)-V(A) = -\int_A^B \vec{E}\cdot d\vec{\ell}.
Tomando A como a superfície da placa e B como o ponto P a distância d, e sabendo que o enunciado define V(\text{superfície})=0í, temos
V(P)-0 = V(P) = -\int_{\text{superfície}}^{P} E\,dl = -E d.í
Substituindo E e d:
V(P) = -\bigl(0{,}8926\bigr)\times\bigl(0{,}0356\bigr)\\ \mathrm{V} \approx -0{,}03173\\ \mathrm{V}.
Em notação científica:
V(P)\approx -3{,}17\times10^{-2}\\ \mathrm{V}.

Passo 5

Checagem rápida da consistência entre trabalho e potencial.
Relação conhecida: o trabalho realizado pelo campo ao mover q de A para B é
W_{\text{campo}} = q\bigl(V(A)-V(B)\bigr).
Com V(\text{superfície})=0í e V(P)=-E d temos
W_{\text{campo}} = q\bigl(0 - (-E d)\bigr) = q E d,
que coincide com o resultado do Passo 3, confirmando consistência.

Resposta

(a) W_{\text{campo}} \approx 3{,}68\times10^{-20}\\ \mathrm{J}
(b) V(P) \approx -3{,}17\times10^{-2}\\ \mathrm{V}

Exercícios relacionados