Em uma experiência usa-se uma lente de distância focal de 20 cm . Em que posição devemos colocar um objeto para a imagem formada ser real e do mesmo tamanho do objeto?

Passo 1

O enunciado dá a distância focal da lente e pede onde colocar o objeto para que a imagem seja real e do mesmo tamanho do objeto. Dados fornecidos:
\;f=20\\ \text{cm}.
Pergunta: em que posição (distância da lente) devemos colocar o objeto para a imagem ser real e ter o mesmo tamanho que o objeto?

Passo 2

Vamos recordar as fórmulas fundamentais (sem resolver ainda). A equação das lentes delgadas é
\frac{1}{f}=\frac{1}{s}+\frac{1}{s'},
onde \;f é a distância focal da lente, \;s é a distância do objeto à lente e \;s' é a distância da imagem à lente.
A ampliação linear (magnificação) é dada por
m=\frac{h'}{h}=-\frac{s'}{s},
onde \;h é a altura do objeto, \;h' a altura da imagem, e o sinal negativo indica que a imagem é invertida quando m<0.
Explicação das variáveis e convenções: distâncias medidas no mesmo eixo; para uma lente convergente temos \;f>0; s>0 quando o objeto está à esquerda da lente (lado de incidência) e s'>0 quando a imagem é real (formada à direita da lente).

Passo 3

Condição “imagem do mesmo tamanho do objeto” significa |m|=1, isto é \left|\dfrac{h'}{h}\right|=1. Pela fórmula da ampliação:
\left|-\frac{s'}{s}\right|=1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{s'}{s}=1 \quad\text{ou}\quad \frac{s'}{s}=-1.
Como queremos uma imagem real com lente convergente, temos s>0 e s'>0, portanto \dfrac{s'}{s}=1, isto é
s'=s.
(Se \dfrac{s'}{s}=-1 significaria s' e s com sinais opostos — não corresponde a imagem real e mesma magnitude aqui.)

Passo 4

Substituímos s'=s na equação das lentes:
\frac{1}{f}=\frac{1}{s}+\frac{1}{s'}=\frac{1}{s}+\frac{1}{s}=\frac{2}{s}.
Isolando s:
\frac{2}{s}=\frac{1}{f}\quad\Longrightarrow\quad s=\frac{2}{1}f=2f.
Portanto, o objeto deve ficar a duas vezes a distância focal da lente.

Passo 5

Agora substituímos o valor numérico da distância focal: \;f=20\\ \text{cm}. Então
s=2f=2\cdot 20\\ \text{cm}=40\\ \text{cm}.

Passo 6

Verificação das propriedades da imagem: com s=40\\ \text{cm} temos s'=s=40\\ \text{cm}. A ampliação é
m=-\frac{s'}{s}=-\frac{40}{40}=-1.
Isso significa que a imagem é real (pois s'>0), tem o mesmo tamanho do objeto em módulo e está invertida em relação ao objeto. Tudo consistente com o pedido.

Passo 7

Resumo conceitual curto para lembrar na prova: para uma lente convergente, objeto em 2f gera imagem real em 2f do outro lado, com ampliação -1 (mesmo tamanho, invertida). Exemplos rápidos para fixar: objeto em f → imagem no infinito; objeto entre f e 2f → imagem real maior que o objeto e além de 2f.

Resposta

O objeto deve ser colocado a 40\\ \text{cm} da lente.

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