3^{\text {a }} Questão - Uma rede de difração de 570 fenda por milímetros é iluminada por uma fonte e o espectro é formado em um anteparo que está a \mathbf{5 0 c m} de distância da rede. Determine os comprimentos de onda emitidos por esta fonte.

Passo 1

O enunciado pede para determinar os comprimentos de onda emitidos pela fonte, sabendo que uma rede de difração com 570 fendas por milímetro forma um espectro sobre um anteparo que está a 50\\ \text{cm} da rede. Da figura (usei os dados mostrados na imagem) temos as distâncias entre máximos simétricos da primeira ordem para três cores: 26\\ \text{cm}, 33\\ \text{cm} e 35\\ \text{cm}.
Informações relevantes extraídas do enunciado / figura:
  • Número de fendas por milímetro: 570\\ \text{fendas/mm}.
  • Distância rede–anteparo: 50\\ \text{cm}.
  • Distâncias entre máximos simétricos (total entre os dois pontos simétricos) para as três cores: 26\\ \text{cm}, 33\\ \text{cm} e 35\\ \text{cm}.
    O que devemos encontrar: os comprimentos de onda correspondentes a essas três posições (assumindo que se trata da primeira ordem, m=1).

Passo 2

Apresentação da fórmula e significado das variáveis (aula rápida e prática).
A equação da rede de difração para máximos de ordem m é:
d\sin\theta = m\lambda,
onde:
  • d é o espaçamento entre fendas (distância entre fendas adjacentes), em metros;
  • \theta é o ângulo de difração da máxima (medido em relação à normal da rede);
  • m é a ordem do máximo ( m=0,\,\pm1,\,\pm2,\dots);
  • \lambda é o comprimento de onda da luz, em metros.
    Na prática de laboratório, medimos a distância vertical y do máximo ao ponto central (máxima central) no anteparo e a distância L entre a rede e o anteparo. Geometricamente,
\tan\theta = \frac{y}{L}.
Para evitar ficar calculando \theta explicitamente com arctan, usamos a identidade
\sin\theta = \frac{y}{\sqrt{y^{2}+L^{2}}},
obtendo diretamente
\lambda = \frac{d}{m}\,\frac{y}{\sqrt{y^{2}+L^{2}}}.
Aqui y é a distância do centro ao máximo — atenção: a figura nos deu a distância entre máximos simétricos, então y é metade desses valores.

Passo 3

Convertemos e calculamos o espaçamento d.
Temos 570 fendas por milímetro, ou seja 570 fendas em 1\\ \text{mm}. Em unidades do SI:
570\\ \text{fendas/mm} = 570\cdot 10^{3}\\ \text{fendas/m}.
Logo o espaçamento entre fendas é
d=\frac{1}{570\cdot 10^{3}}=1,754\times 10^{-6}\\ \text{m}.

Passo 4

Preparo dos valores geométricos (conversões e y para cada cor).
Distância rede–anteparo:
L=50\\ \text{cm} = 0,50\\ \text{m}.
As distâncias entre máximos simétricos (da figura) são 26\\ \text{cm}, 33\\ \text{cm} e 35\\ \text{cm}. Então as distâncias do centro a cada máximo são:
y_{1}=\frac{26\\ \text{cm}}{2}=13\\ \text{cm}=0,13\\ \text{m},
y_{2}=\frac{33\\ \text{cm}}{2}=16{,}5\\ \text{cm}=0,165\\ \text{m},
y_{3}=\frac{35\\ \text{cm}}{2}=17{,}5\\ \text{cm}=0,175\\ \text{m}.
Vamos assumir ordem m=1 (primeira ordem), que é o caso mais comum e coerente com a figura.

Passo 5

Fórmula final para m=1 e cálculo geral (sem calcular \theta explicitamente):
\lambda = d\,\frac{y}{\sqrt{y^{2}+L^{2}}}.
Substituiremos d=1,754\times10^{-6}\\ \text{m} e L=0,50\\ \text{m} para cada y.

Passo 6

Cálculo para a cor com y_{1}=0,13\\ \text{m} (violeta):
\sqrt{y_{1}^{2}+L^{2}}=\sqrt{(0,13)^{2}+(0,50)^{2}}=\sqrt{0,0169+0,25}=\sqrt{0,2669}=0,5167\\ \text{m}.
\frac{y_{1}}{\sqrt{y_{1}^{2}+L^{2}}}=\frac{0,13}{0,5167}=0,2516.
\lambda_{1}=1,754\times10^{-6}\cdot 0,2516=4,414\times10^{-7}\\ \text{m}=441{,}4\\ \text{nm}.

Passo 7

Cálculo para a cor com y_{2}=0,165\\ \text{m} (verde):
\sqrt{y_{2}^{2}+L^{2}}=\sqrt{(0,165)^{2}+(0,50)^{2}}=\sqrt{0,027225+0,25}=\sqrt{0,277225}=0,5266\\ \text{m}.
\frac{y_{2}}{\sqrt{y_{2}^{2}+L^{2}}}=\frac{0,165}{0,5266}=0,3136.
\lambda_{2}=1,754\times10^{-6}\cdot 0,3136=5,500\times10^{-7}\\ \text{m}=550{,}0\\ \text{nm}.

Passo 8

Cálculo para a cor com y_{3}=0,175\\ \text{m} (laranja):
\sqrt{y_{3}^{2}+L^{2}}=\sqrt{(0,175)^{2}+(0,50)^{2}}=\sqrt{0,030625+0,25}=\sqrt{0,280625}=0,5297\\ \text{m}.
\frac{y_{3}}{\sqrt{y_{3}^{2}+L^{2}}}=\frac{0,175}{0,5297}=0,3303.
\lambda_{3}=1,754\times10^{-6}\cdot 0,3303=5,797\times10^{-7}\\ \text{m}=579{,}7\\ \text{nm}.

Resposta

\lambda_{\text{violeta}} = 441{,}4\\ \text{nm}
\lambda_{\text{verde}} = 550{,}0\\ \text{nm}
\lambda_{\text{laranja}} = 579{,}7\\ \text{nm}

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