Um cubo com aresta a tem uma carga q pontual em cada um de seus vértices. Calcule o módulo e a orientação da força elétrica em cada uma das cargas.
(Dica: Cuidado com a normalização dos versores! 중 )

Passo 1

O enunciado descreve um cubo de aresta a que tem uma carga pontual q em cada um de seus oito vértices. Precisamos usar o princípio da superposição e a lei de Coulomb para calcular a força resultante sobre uma carga situada em um vértice, devido às outras sete cargas.

Passo 2

Para explorar a simetria, colocamos a carga de interesse na origem do sistema de coordenadas, de modo que os outros sete vértices ficam nos pontos
(a,0,0),\quad(0,a,0),\quad(0,0,a),\quad(a,a,0),\quad(a,0,a),\quad(0,a,a),\quad(a,a,a).
Chamamos de \vec F a força total sobre a carga em (0,0,0). Segundo Coulomb, cada par de cargas q interage com força
\vec F_{i} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\frac{q^2}{r_i^2}\,\hat r_i,
onde r_i é a distância entre as cargas e \hat r_i é o versor de separação.

Passo 3

Vamos separar as sete contribuições em três grupos:
  1. Três vizinhos a distância a: em (a,0,0), (0,a,0) e (0,0,a).
  2. Três vizinhos na diagonal de face a distância \sqrt2\,a: em (a,a,0), (a,0,a) e (0,a,a).
  3. Um vizinho na diagonal do cubo a distância \sqrt3\,a: em (a,a,a).
Escrevemos a soma vetorial como
\vec F =\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,q^2 \Biggl[ \sum_{\substack{\text{dist}=a}}\frac{\hat r}{a^2} +\sum_{\substack{\text{dist}=\sqrt2\,a}}\frac{\hat r}{(\sqrt2\,a)^2} +\sum_{\substack{\text{dist}=\sqrt3\,a}}\frac{\hat r}{(\sqrt3\,a)^2} \Biggr].

Passo 4

Para cada grupo determinamos a soma dos versores:
— Vizinhos a a: os versores são
\hat e_x=(1,0,0), \hat e_y=(0,1,0) e \hat e_z=(0,0,1), soma
\sum_{\text{1}} \hat r =\hat e_x+\hat e_y+\hat e_z.
— Diagonais de face ( \sqrt2\,a): cada versor é \tfrac1{\sqrt2}(1,1,0), \tfrac1{\sqrt2}(1,0,1), \tfrac1{\sqrt2}(0,1,1). A soma é
\sum_{\text{2}} \hat r =\frac1{\sqrt2}\bigl((1,1,0)+(1,0,1)+(0,1,1)\bigr) =\frac{\sqrt2}{1}\,(1,1,1).
Mas como o denominador é (\sqrt2\,a)^2=2a^2, esse grupo entra com fator 1/(2a^2).
— Diagonal do cubo ( \sqrt3\,a): o versor é \tfrac1{\sqrt3}(1,1,1) e a distância ao quadrado é 3a^2, fator 1/(3a^2).

Passo 5

Reunindo tudo dentro de um mesmo vetor, notamos que cada componente x,y,z será igual por simetria. O coeficiente comum é
1\quad(\text{vizinhos}),\quad \frac{\sqrt2}{2}\quad(\text{faces}),\quad \frac{\sqrt3}{3}\quad(\text{cubo}).
Logo a soma vetorial interna é
\Bigl(1+\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt3}{3}\Bigr)(1,1,1).
Multiplicando por \tfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\tfrac{q^2}{a^2}, obtemos
\vec F =\frac{q^2}{4\pi\epsilon_0\,a^2}\Bigl(1+\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt3}{3}\Bigr)(1,1,1).

Passo 6

Para extrair o módulo e o versor, note que (1,1,1) tem norma \sqrt3. Assim,
F = \|\vec F\| =\frac{q^2}{4\pi\epsilon_0\,a^2}\Bigl(1+\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt3}{3}\Bigr)\sqrt3,
e a direção é ao longo de
\hat u =\frac{1}{\sqrt3}(1,1,1),
isto é, em direção ao centro do cubo.

Resposta

\vec F =\frac{q^2}{4\pi\epsilon_0\,a^2}\Bigl(1+\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt3}{3}\Bigr)(1,1,1),
F =\frac{q^2}{4\pi\epsilon_0\,a^2}\Bigl(1+\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt3}{3}\Bigr)\sqrt3, \qquad \hat u=\frac{1}{\sqrt3}(1,1,1).

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