Um cubo com aresta
tem uma carga
pontual em cada um de seus vértices. Calcule o módulo e a orientação da força elétrica em cada uma das cargas.
(Dica: Cuidado com a normalização dos versores! 중 )
(Dica: Cuidado com a normalização dos versores! 중 )
Passo 1
O enunciado descreve um cubo de aresta
que tem uma carga pontual
em cada um de seus oito vértices. Precisamos usar o princípio da superposição e a lei de Coulomb para calcular a força resultante sobre uma carga situada em um vértice, devido às outras sete cargas.
Passo 2
Para explorar a simetria, colocamos a carga de interesse na origem do sistema de coordenadas, de modo que os outros sete vértices ficam nos pontos
Chamamos de
a força total sobre a carga em
. Segundo Coulomb, cada par de cargas
interage com força
onde
é a distância entre as cargas e
é o versor de separação.
Passo 3
Vamos separar as sete contribuições em três grupos:
- Três vizinhos a distância
: em , e . - Três vizinhos na diagonal de face a distância
: em , e . - Um vizinho na diagonal do cubo a distância
: em .
Escrevemos a soma vetorial como
Passo 4
Para cada grupo determinamos a soma dos versores:
— Vizinhos a
: os versores são
,
e
, soma
— Diagonais de face (
): cada versor é
,
,
. A soma é
Mas como o denominador é
, esse grupo entra com fator
.
— Diagonal do cubo (
): o versor é
e a distância ao quadrado é
, fator
.
Passo 5
Reunindo tudo dentro de um mesmo vetor, notamos que cada componente
será igual por simetria. O coeficiente comum é
Logo a soma vetorial interna é
Multiplicando por
, obtemos
Passo 6
Para extrair o módulo e o versor, note que
tem norma
. Assim,
e a direção é ao longo de
isto é, em direção ao centro do cubo.