O que está sendo pedido?
Você deve deduzir matematicamente a Equação de Gibbs-Helmholtz a partir da definição da energia livre de Gibbs e das relações termodinâmicas básicas.

Passo 1

O enunciado pede para deduzir matematicamente a Equação de Gibbs–Helmholtz a partir da definição da energia livre de Gibbs e de relações termodinâmicas básicas. Vamos usar a definição
G = H - T S
e os conceitos de capacidade térmica a pressão constante para chegar a
\Bigl(\frac{\partial (G/T)}{\partial T}\Bigr)_{p} = -\frac{H}{T^{2}}.

Passo 2

Começamos dividindo a definição de G por T:
\frac{G}{T} = \frac{H}{T} - S.

Passo 3

Agora diferenciamos ambos os lados em relação a T, mantendo a pressão constante:
\Bigl(\frac{\partial (G/T)}{\partial T}\Bigr)_{p} = \Bigl(\frac{\partial (H/T)}{\partial T}\Bigr)_{p} - \Bigl(\frac{\partial S}{\partial T}\Bigr)_{p}.

Passo 4

Para o primeiro termo, aplicamos a regra do quociente:
\Bigl(\frac{\partial (H/T)}{\partial T}\Bigr)_{p} = \frac{1}{T}\Bigl(\frac{\partial H}{\partial T}\Bigr)_{p} + H\,\Bigl(\frac{\partial (1/T)}{\partial T}\Bigr) = \frac{C_{p}}{T} - \frac{H}{T^{2}},
pois \bigl(\partial H/\partial T\bigr)_{p}=C_{p} e \partial(1/T)/\partial T=-1/T^{2}.

Passo 5

Para o segundo termo, usamos a definição de capacidade térmica:
C_{p} = T \Bigl(\frac{\partial S}{\partial T}\Bigr)_{p} \quad\Longrightarrow\quad \Bigl(\frac{\partial S}{\partial T}\Bigr)_{p} = \frac{C_{p}}{T}.

Passo 6

Substituindo esses resultados na expressão do Passo 3, temos
\Bigl(\frac{\partial (G/T)}{\partial T}\Bigr)_{p} = \Bigl(\frac{C_{p}}{T} - \frac{H}{T^{2}}\Bigr) - \frac{C_{p}}{T} = -\frac{H}{T^{2}}.

Resposta

\Bigl(\frac{\partial (G/T)}{\partial T}\Bigr)_{p} = -\frac{H}{T^{2}}.

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