Um cubo está em um campo elétrico uniforme. Determine o fluxo pela face direita e o fluxo total para diferentes vetores campo.

Passo 1

O enunciado: um cubo (lado a) está num campo elétrico uniforme. Pergunta-se o fluxo pela face direita do cubo e o fluxo total através da superfície fechada do cubo para diferentes vetores campo. Informações dadas e o que pedir:
  • O cubo tem lado a. Logo a área de cada face é A=a^{2}.
  • “Face direita” vou tomar como a face cujo vetor normal unitário aponta para +\hat{x} (isto é, a face com normal externa \hat{n} = +\hat{x}).
  • Campo elétrico é uniforme: \vec{E} é o mesmo em todo espaço (mesmo dentro e fora do cubo).
  • Pedidos: calcular (i) o fluxo pela face direita e (ii) o fluxo total através de todas as faces, para diferentes escolhas de \vec{E}.

Passo 2

Conceito de fluxo elétrico — explicação passo a passo e fórmula:
  • Fluxo elétrico através de uma superfície S é definido por
\Phi=\iint_{S}\vec{E}\cdot d\vec{A},
onde d\vec{A} é o vetor área (módulo igual a um elemento de área e direção normal à superfície, orientado para fora no caso de superfície fechada).
  • Para uma face plana e campo uniforme, o integral simplifica porque \vec{E} é constante e d\vec{A}= \hat{n}\,dA. Então
\Phi=\vec{E}\cdot\left(\hat{n}\iint_{S}dA\right)=\vec{E}\cdot(\hat{n}A)=\vec{E}\cdot\vec{A},
onde \vec{A}=A\hat{n}. Em palavras: fluxo = componente do campo na direção normal vezes a área.
  • Lembrete sobre sinais: se \vec{E} aponta para fora da superfície em uma face, o fluxo por essa face é positivo; se aponta para dentro, é negativo.

Passo 3

Normais das faces do cubo e áreas (detalhe prático que vai facilitar as contas):
  • Face direita: \hat{n}_{\text{dir}}=+\hat{x}, área A=a^{2}.
  • Face esquerda: \hat{n}_{\text{esq}}=-\hat{x}, área A=a^{2}.
  • Faces em y: normais +\hat{y} e -\hat{y}.
  • Faces em z: normais +\hat{z} e -\hat{z}.
    Cada par de faces opostas tem a mesma área e normais opostas.

Passo 4

Cálculo do fluxo pela face direita para um campo genérico \vec{E}:
  • Escreva o campo em componentes cartesianas:
\vec{E}=E_{x}\,\hat{x}+E_{y}\,\hat{y}+E_{z}\,\hat{z}.
  • O vetor área da face direita é \vec{A}_{\text{dir}}=A\,\hat{x}=a^{2}\,\hat{x}.
  • Então o fluxo pela face direita é o produto escalar
\Phi_{\text{dir}}=\vec{E}\cdot\vec{A}_{\text{dir}}=(E_{x}\,\hat{x}+E_{y}\,\hat{y}+E_{z}\,\hat{z})\cdot(a^{2}\,\hat{x})=E_{x}\,a^{2}.
  • Interpretação: apenas a componente E_{x} do campo contribui para essa face; E_{y} e E_{z} são tangenciais e não produzem fluxo nessa face.

Passo 5

Fluxo por faces opostas e fluxo total (argumento de cancelamento e ligação com a Lei de Gauss):
  • Fluxo pela face esquerda (normal -\hat{x}) é
\Phi_{\text{esq}}=\vec{E}\cdot(-a^{2}\,\hat{x})=-E_{x}\,a^{2}.
  • Portanto as duas faces x-opostas dão soma \Phi_{\text{dir}}+\Phi_{\text{esq}}=E_{x}a^{2}-E_{x}a^{2}=0.
  • Analogamente as faces em y somam zero ( +E_{y}a^{2} e -E_{y}a^{2}) e as faces em z somam zero.
  • Logo o fluxo total através de todas as seis faces é
\Phi_{\text{total}}=0,
desde que não haja carga elétrica dentro do cubo. Explicação física rápida: campo uniforme tem divergência nula ( \nabla\cdot\vec{E}=0), e pela Lei de Gauss para uma superfície fechada
\Phi_{\text{total}}=\oint_{S}\vec{E}\cdot d\vec{A}=\iiint_{V}(\nabla\cdot\vec{E})\,dV=0.
Essa é uma forma elegante de ver o cancelamento independentemente dos componentes.

Passo 6

Exemplos práticos (calcule passo a passo para campos típicos que costumam cair em prova):
  • Caso (a): \vec{E}=E\,\hat{x}.
    • Aqui E_{x}=E. Pela fórmula do Passo 4,
    \Phi_{\text{dir}}=E\,a^{2}.
    • Faces opostas cancelam, então \Phi_{\text{total}}=0.
  • Caso (b): \vec{E}=E\,\hat{y}.
    • Aqui E_{x}=0. Então
    \Phi_{\text{dir}}=0\quad(\text{campo paralelo à face direita}).à
    • Total \Phi_{\text{total}}=0.
  • Caso (c): \vec{E}=E\,\hat{z}.
    • Novamente E_{x}=0 então \Phi_{\text{dir}}=0 e \Phi_{\text{total}}=0.
  • Caso (d): \vec{E}=E\frac{\hat{x}+\hat{y}}{\sqrt{2}}.
    • Componentes: E_{x}=E/\sqrt{2}, E_{y}=E/\sqrt{2}.
    • Fluxo pela face direita:
    \Phi_{\text{dir}}=\frac{E}{\sqrt{2}}\,a^{2}.
    • Total \Phi_{\text{total}}=0.
  • Caso (e): \vec{E}=E\frac{\hat{x}+\hat{y}+\hat{z}}{\sqrt{3}}.
    • E_{x}=E/\sqrt{3}. Logo
    \Phi_{\text{dir}}=\frac{E}{\sqrt{3}}\,a^{2},e \Phi_{\text{total}}=0.

Passo 7

Dicas rápidas para prova (como aplicar isso rápido e sem erro):
  • Sempre identifique a normal da face em que quer o fluxo (aqui a direita → +\hat{x}).
  • Para campo uniforme, basta pegar a componente do campo na direção normal e multiplicar por a^{2}.
  • Para fluxo total de uma superfície fechada com campo uniforme (ou qualquer campo com \nabla\cdot\vec{E}=0 no volume), o total é zero a menos que exista carga dentro.
  • Se aparecer uma distribuição de carga dentro do cubo, então use a Lei de Gauss: \Phi_{\text{total}}=Q_{\text{int}}/\epsilon_{0}.

Resposta

Para \vec{E}=E_{x}\,\hat{x}+E_{y}\,\hat{y}+E_{z}\,\hat{z}: \Phi_{\text{direita}}=E_{x}\,a^{2} \
\Phi_{\text{total}}=0 (desde que não haja carga dentro do cubo).
Casos particulares: \
\vec{E}=E\,\hat{x}:\\ \Phi_{\text{direita}}=E\,a^{2},\\ \Phi_{\text{total}}=0 \
\vec{E}=E\,\hat{y}:\\ \Phi_{\text{direita}}=0,\\ \Phi_{\text{total}}=0 \
\vec{E}=E\,\hat{z}:\\ \Phi_{\text{direita}}=0,\\ \Phi_{\text{total}}=0 \
\vec{E}=E\frac{\hat{x}+\hat{y}}{\sqrt{2}}:\\ \Phi_{\text{direita}}=\dfrac{E\,a^{2}}{\sqrt{2}},\\ \Phi_{\text{total}}=0 \
\vec{E}=E\frac{\hat{x}+\hat{y}+\hat{z}}{\sqrt{3}}:\\ \Phi_{\text{direita}}=\dfrac{E\,a^{2}}{\sqrt{3}},\\ \Phi_{\text{total}}=0

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