Um cubo está em um campo elétrico uniforme. Determine o fluxo pela face direita e o fluxo total para diferentes vetores campo.
Passo 1
O enunciado: um cubo (lado
) está num campo elétrico uniforme. Pergunta-se o fluxo pela face direita do cubo e o fluxo total através da superfície fechada do cubo para diferentes vetores campo. Informações dadas e o que pedir:
- O cubo tem lado
. Logo a área de cada face é . - “Face direita” vou tomar como a face cujo vetor normal unitário aponta para
(isto é, a face com normal externa ). - Campo elétrico é uniforme:
é o mesmo em todo espaço (mesmo dentro e fora do cubo). - Pedidos: calcular (i) o fluxo pela face direita e (ii) o fluxo total através de todas as faces, para diferentes escolhas de
.
Passo 2
Conceito de fluxo elétrico — explicação passo a passo e fórmula:
- Fluxo elétrico através de uma superfície
é definido por
onde
é o vetor área (módulo igual a um elemento de área e direção normal à superfície, orientado para fora no caso de superfície fechada).
- Para uma face plana e campo uniforme, o integral simplifica porque
é constante e . Então
onde
. Em palavras: fluxo = componente do campo na direção normal vezes a área.
- Lembrete sobre sinais: se
aponta para fora da superfície em uma face, o fluxo por essa face é positivo; se aponta para dentro, é negativo.
Passo 3
Normais das faces do cubo e áreas (detalhe prático que vai facilitar as contas):
- Face direita:
, área . - Face esquerda:
, área . - Faces em
: normais e . - Faces em
: normais e .
Cada par de faces opostas tem a mesma área e normais opostas.
Passo 4
Cálculo do fluxo pela face direita para um campo genérico
:
- Escreva o campo em componentes cartesianas:
- O vetor área da face direita é
. - Então o fluxo pela face direita é o produto escalar
- Interpretação: apenas a componente
do campo contribui para essa face; e são tangenciais e não produzem fluxo nessa face.
Passo 5
Fluxo por faces opostas e fluxo total (argumento de cancelamento e ligação com a Lei de Gauss):
- Fluxo pela face esquerda (normal
) é
- Portanto as duas faces
-opostas dão soma . - Analogamente as faces em
somam zero ( e ) e as faces em somam zero. - Logo o fluxo total através de todas as seis faces é
desde que não haja carga elétrica dentro do cubo. Explicação física rápida: campo uniforme tem divergência nula (
), e pela Lei de Gauss para uma superfície fechada
Essa é uma forma elegante de ver o cancelamento independentemente dos componentes.
Passo 6
Exemplos práticos (calcule passo a passo para campos típicos que costumam cair em prova):
- Caso (a):
. - Aqui
. Pela fórmula do Passo 4,
- Faces opostas cancelam, então
.
- Aqui
- Caso (b):
. - Aqui
. Então
- Total
.
- Aqui
- Caso (c):
. - Novamente
então e .
- Novamente
- Caso (d):
. - Componentes:
, . - Fluxo pela face direita:
- Total
.
- Componentes:
- Caso (e):
. -
. Logo
e . -
Passo 7
Dicas rápidas para prova (como aplicar isso rápido e sem erro):
- Sempre identifique a normal da face em que quer o fluxo (aqui a direita →
). - Para campo uniforme, basta pegar a componente do campo na direção normal e multiplicar por
. - Para fluxo total de uma superfície fechada com campo uniforme (ou qualquer campo com
no volume), o total é zero a menos que exista carga dentro. - Se aparecer uma distribuição de carga dentro do cubo, então use a Lei de Gauss:
.
Resposta
Para
:
\
(desde que não haja carga dentro do cubo).
Casos particulares: \
\
\
\
\