Duas cargas ficam presas em um eixo. Em quais configurações existe um ponto à esquerda das cargas onde um elétron fica em equilíbrio?
Passo 1
O enunciado diz: duas cargas puntuais estão presas em um mesmo eixo (colocarei uma em
e outra em
, com
). Pergunta-se: em quais configurações existe um ponto, localizado à esquerda das duas cargas (ou seja em algum
), onde um elétron fica em equilíbrio?
Informações relevantes que vou usar:
Informações relevantes que vou usar:
- As cargas fixas são
em e em . - O elétron tem carga
(negativa). - O ponto de interesse está à esquerda de ambas as cargas, isto é em alguma posição
.
O objetivo é identificar que sinais e relações de módulo entree permitem um ponto de equilíbrio nessa região.
Passo 2
Entendendo as direções das forças (sem contas ainda): para um ponto
ambas as cargas
e
ficam à direita do elétron. A direção da força que cada carga exerce sobre o elétron depende do sinal da carga:
- se uma carga
(positiva), ela atrai o elétron para a direita; - se
(negativa), ela repele o elétron para a esquerda.
Para que haja equilíbrio (força resultante zero) é necessário que as forças dee tenham sentidos opostos. Portanto uma condição necessária é que e tenham sinais opostos. Se as duas tiverem o mesmo sinal, ambas empurram ou puxam o elétron no mesmo sentido e não há equilíbrio à esquerda.
Passo 3
Agora escrevemos a condição de equilíbrio em forma matemática. Coloco o ponto de equilíbrio em
com
(assim
). As distâncias do elétron às cargas são:
As magnitudes das forças de Coulomb sobre o elétron são (constante
cancela depois, e uso os módulos das cargas):
Para equilíbrio as magnitudes devem ser iguais (porque já sabemos que as direções são opostas quando os sinais são opostos):
Cancelando
e
obtemos a equação chave
Passo 4
Resolvendo a equação para
. Tome raiz quadrada dos dois lados (considerando quantidades positivas):
Rearranjando:
Isto leva a
Portanto
Passo 5
Interpretação da expressão obtida e condições para existir
:
- Para
ser positivo é necessário que o denominador seja positivo, ou seja
- Se
o denominador é zero e não existe solução fimita (a solução se desloca para , ou seja nenhum ponto finito à esquerda). - Se
o denominador é negativo e a fórmula dá , o que é fisicamente inválido (não há ponto de equilíbrio à esquerda).
Juntando com o resultado do Passo 2 (os sinais devem ser opostos), concluímos que além dos sinais opostos é preciso que o módulo da carga mais afastada da região esquerda (a carga em, aqui ) seja maior que o módulo da carga mais próxima ( ).
Passo 6
Resumo físico e exemplos para fixar a ideia:
- Se
e têm o mesmo sinal (ambas positivas ou ambas negativas): não existe ponto de equilíbrio à esquerda. - Se
e têm sinais opostos, existe ponto de equilíbrio à esquerda se, e somente se, (ou seja a carga do lado direito, mais distante do ponto buscado, tem maior magnitude).
Exemplos concretos: -
(em unidades), : existe equilíbrio à esquerda porque sinais opostos e . -
, : não existe equilíbrio à esquerda porque . - Se
, : nenhum ponto finito à esquerda (caso limite ).
Resposta
Existem pontos de equilíbrio à esquerda somente quando as cargas têm sinais opostos e o módulo da carga mais à direita é maior que o módulo da carga mais à esquerda, isto é:
e
de sinais opostos e
.