Duas cargas ficam presas em um eixo. Em quais configurações existe um ponto à esquerda das cargas onde um elétron fica em equilíbrio?

Passo 1

O enunciado diz: duas cargas puntuais estão presas em um mesmo eixo (colocarei uma em x=0 e outra em x=d, com d>0). Pergunta-se: em quais configurações existe um ponto, localizado à esquerda das duas cargas (ou seja em algum x<0), onde um elétron fica em equilíbrio?
Informações relevantes que vou usar:
  • As cargas fixas são q_1 em x=0 e q_2 em x=d>0.
  • O elétron tem carga q_e=-e (negativa).
  • O ponto de interesse está à esquerda de ambas as cargas, isto é em alguma posição x<0.
    O objetivo é identificar que sinais e relações de módulo entre q_1 e q_2 permitem um ponto de equilíbrio nessa região.

Passo 2

Entendendo as direções das forças (sem contas ainda): para um ponto x<0 ambas as cargas q_1 e q_2 ficam à direita do elétron. A direção da força que cada carga exerce sobre o elétron depende do sinal da carga:
  • se uma carga q_i>0 (positiva), ela atrai o elétron para a direita;
  • se q_i<0 (negativa), ela repele o elétron para a esquerda.
    Para que haja equilíbrio (força resultante zero) é necessário que as forças de q_1 e q_2 tenham sentidos opostos. Portanto uma condição necessária é que q_1 e q_2 tenham sinais opostos. Se as duas tiverem o mesmo sinal, ambas empurram ou puxam o elétron no mesmo sentido e não há equilíbrio à esquerda.

Passo 3

Agora escrevemos a condição de equilíbrio em forma matemática. Coloco o ponto de equilíbrio em x=-a com a>0 (assim x<0). As distâncias do elétron às cargas são:
\text{distância a }q_1:\; r_1 = a, \qquad \text{distância a }q_2:\; r_2 = d+a.ââ
As magnitudes das forças de Coulomb sobre o elétron são (constante k cancela depois, e uso os módulos das cargas):
F_1 = k\,\frac{|q_1|\,e}{a^{2}},\qquad F_2 = k\,\frac{|q_2|\,e}{(d+a)^{2}}.
Para equilíbrio as magnitudes devem ser iguais (porque já sabemos que as direções são opostas quando os sinais são opostos):
k\,\frac{|q_1|\,e}{a^{2}} = k\,\frac{|q_2|\,e}{(d+a)^{2}}.
Cancelando k e e obtemos a equação chave
\frac{|q_1|}{a^{2}} = \frac{|q_2|}{(d+a)^{2}}.

Passo 4

Resolvendo a equação para a. Tome raiz quadrada dos dois lados (considerando quantidades positivas):
\frac{\sqrt{|q_1|}}{a} = \frac{\sqrt{|q_2|}}{d+a}.
Rearranjando:
d+a = a\sqrt{\frac{|q_2|}{|q_1|}}.
Isto leva a
d = a\!\left(\sqrt{\frac{|q_2|}{|q_1|}}-1\right).
Portanto
a = \frac{d}{\sqrt{\dfrac{|q_2|}{|q_1|}}-1}.

Passo 5

Interpretação da expressão obtida e condições para existir a>0:
  • Para a ser positivo é necessário que o denominador seja positivo, ou seja
\sqrt{\frac{|q_2|}{|q_1|}}-1>0 \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{\frac{|q_2|}{|q_1|}}>1 \quad\Longrightarrow\quad |q_2|>|q_1|.
  • Se |q_2|=|q_1| o denominador é zero e não existe solução fimita (a solução se desloca para a\to\infty, ou seja nenhum ponto finito à esquerda).
  • Se |q_2|<|q_1| o denominador é negativo e a fórmula dá a<0, o que é fisicamente inválido (não há ponto de equilíbrio à esquerda).
    Juntando com o resultado do Passo 2 (os sinais devem ser opostos), concluímos que além dos sinais opostos é preciso que o módulo da carga mais afastada da região esquerda (a carga em x=d, aqui q_2) seja maior que o módulo da carga mais próxima ( q_1).

Passo 6

Resumo físico e exemplos para fixar a ideia:
  • Se q_1 e q_2 têm o mesmo sinal (ambas positivas ou ambas negativas): não existe ponto de equilíbrio à esquerda.
  • Se q_1 e q_2 têm sinais opostos, existe ponto de equilíbrio à esquerda se, e somente se, |q_2|>|q_1| (ou seja a carga do lado direito, mais distante do ponto buscado, tem maior magnitude).
    Exemplos concretos:
  • q_1=+1 (em unidades), q_2=-4: existe equilíbrio à esquerda porque sinais opostos e |q_2|=4>|q_1|=1.
  • q_1=+2, q_2=-1: não existe equilíbrio à esquerda porque |q_2|<|q_1|.
  • Se q_1=+3, q_2=-3: nenhum ponto finito à esquerda (caso limite |q_2|=|q_1|).

Resposta

Existem pontos de equilíbrio à esquerda somente quando as cargas têm sinais opostos e o módulo da carga mais à direita é maior que o módulo da carga mais à esquerda, isto é: q_1 e q_2 de sinais opostos e |q_2|>|q_1|.

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