Sejam os vetores \vec{A}=2 \hat{\imath}+3 \hat{\jmath}+\hat{k} e \vec{B}=-4 \hat{\imath}+2 \hat{\jmath}-\hat{k}.
Determine:
(c) \vec{A} \cdot \vec{B}

Passo 1

O enunciado fornece os vetores e pede um cálculo específico. Informações dadas:
  • \vec{A}=2 \hat{\imath}+3 \hat{\jmath}+\hat{k}.
  • \vec{B}=-4 \hat{\imath}+2 \hat{\jmath}-\hat{k}.
O que se pede:
  • (c) Determinar \vec{A}\cdot\vec{B}.

Passo 2

Entendendo os vetores em componentes: os símbolos \hat{\imath},\hat{\jmath},\hat{k} representam vetores unitários ortogonais nas direções x,y,z. Isso significa que cada vetor pode ser lido como uma tripla de componentes:
  • Para \vec{A} as componentes são A_x=2, A_y=3, A_z=1.
  • Para \vec{B} as componentes são B_x=-4, B_y=2, B_z=-1.
Explanação rápida (tipo mini-aula): quando um vetor está escrito como a\hat{\imath}+b\hat{\jmath}+c\hat{k}, isso significa que seu componente na direção x vale a, na direção y vale b e na direção z vale c. É como coordenadas num tripé ortogonal.

Passo 3

Fórmula do produto escalar em componentes (essa é a fórmula que vamos usar):
\vec{A}\cdot\vec{B}=A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z.
Explicando as letras:
  • A_x é a componente de \vec{A} em x,
  • B_x é a componente de \vec{B} em x,
    e assim por diante. O produto escalar soma o produto par a par das componentes correspondentes.
Observação geométrica curta: o produto escalar também pode ser escrito como \vec{A}\cdot\vec{B}=|\vec{A}|\,|\vec{B}|\cos\theta, onde \theta é o ângulo entre os vetores. Se o produto escalar é negativo, isso indica que o ângulo é maior que 90^\circ.

Passo 4

Substituindo as componentes conhecidas na fórmula:
\vec{A}\cdot\vec{B}=2\cdot(-4)+3\cdot 2 + 1\cdot(-1).

Passo 5

Calculemos termo a termo:
2\cdot(-4)=-8, \qquad 3\cdot 2=6, \qquad 1\cdot(-1)=-1.

Passo 6

Somando os termos:
-8 + 6 + (-1) = -8 + 6 -1 = -3.

Passo 7

Interpretação rápida e incentivo: o resultado negativo ( -3) indica que os vetores formam um ângulo maior que 90^\circ. Bom trabalho por encarar o exercício — deu pra ver direitinho como ler as componentes e aplicar a soma dos produtos; isso cai muito em prova e é prático de fazer rápido.

Resposta

-3

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