Um cubo de ferro foi aquecido a 70^{\circ} \mathrm{C} e transferido para um béquer contendo 100 g de agua a 20^{\circ} \mathrm{C}. A temperatura final da água e do ferro foi de 23^{\circ} \mathrm{C}. Qual é (a) a capacidade calorífica (b) a capacidade calorífica específica (c) a capacidade calorifica molar do cubo de ferro? Despreze as perdas térmicas.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e faz estas perguntas:
  • Dados: T_{\text{Fe, inicial}}=70^\circ\text{C},
T_{\text{água, inicial}}=20^\circ\text{C},á
T_{\text{final (ambos)}}=23^\circ\text{C},
m_{\text{água}}=100\\ \text{g}.á
Despreza-se perdas térmicas (ou seja, todo o calor perdido pelo ferro é ganho pela água).
  • Perguntas:
    (a) Qual é a capacidade calorífica do cubo de ferro? (ou seja, C_{\text{Fe}} em \mathrm{J/^\circ C}).
    (b) Qual é a capacidade calorífica específica do ferro? (ou seja, c_{\text{Fe}} em \mathrm{J/(g\cdot^\circ C)} ou \mathrm{J/(kg\cdot^\circ C)}).
    (c) Qual é a capacidade calorífica molar do ferro? (ou seja, C_{m,\text{Fe}} em \mathrm{J/(mol\cdot^\circ C)}).
Observação importante: o enunciado não informa a massa do cubo de ferro. Para calcular numericamente (b) e (c) precisamos da massa do cubo (ou do número de mols). Se a massa não for dada, só conseguimos (a) numericamente (a capacidade térmica total do cubo) e as respostas (b) e (c) ficam em função da massa. Vou resolver passo a passo e mostrar como obter cada item; onde faltar dado eu explico claramente o que falta e dou fórmulas práticas.

Passo 2

Princípio físico que vamos usar: equilíbrio térmico sem perdas. O calor perdido pelo ferro é igual ao calor ganho pela água:
Q_{\text{Fe}} + Q_{\text{água}} = 0.á
Convenções de sinal: aqui é mais simples usar magnitudes (quantidades de calor trocadas):
\text{calor perdido pelo ferro} = \text{calor ganho pela água}.á
Fórmulas que usamos:
  • Para a água (conhecemos massa e calor específico): Q_{\text{água}} = m_{\text{água}} \, c_{\text{água}} \, \Delta T_{\text{água}},áááá
onde
  • m_{\text{água}}á é a massa da água (em \mathrm{g} ou \mathrm{kg}),
  • c_{\text{água}}á é o calor específico da água ( 4,18\\ \mathrm{J/(g\cdot^\circ C)} = 4180\\ \mathrm{J/(kg\cdot^\circ C)}),
  • \Delta T_{\text{água}} = T_{\text{final}} - T_{\text{água, inicial}}áá.
  • Para o cubo de ferro, se quisermos a capacidade térmica total (capacidade calorífica) usamos:
Q_{\text{Fe}} = C_{\text{Fe}} \, \Delta T_{\text{Fe}},
onde
  • C_{\text{Fe}} é a capacidade calorífica total do cubo (em \mathrm{J/^\circ C}),
  • \Delta T_{\text{Fe}} = T_{\text{Fe, final}} - T_{\text{Fe, inicial}} (será negativo, mas usamos magnitude).
  • Relação entre capacidade térmica total C, calor específico c e massa m:
C = m \, c.
  • Relação entre calor específico c e capacidade molar C_m:
C_m = c \, M,
onde M é a massa molar do elemento (para o ferro M\approx 55{,}85\\ \mathrm{g/mol}).

Passo 3

Calculemos o calor ganho pela água (mostrando contas passo a passo).
  • Variação de temperatura da água: \Delta T_{\text{água}} = 23^\circ\text{C} - 20^\circ\text{C} = 3^\circ\text{C}.á
  • Usando m_{\text{água}}=100\\ \text{g}á e c_{\text{água}}=4{,}18\\ \mathrm{J/(g\cdot^\circ C)}á: Q_{\text{água}} = 100\\ \text{g} \times 4{,}18\\ \frac{\mathrm{J}}{\mathrm{g\cdot^\circ C}} \times 3^\circ\text{C}.áCalculemos: Q_{\text{água}} = 100 \times 4{,}18 \times 3 = 1254\\ \mathrm{J}.á
Isso significa que o cubo de ferro teve de ceder 1254\\ \mathrm{J} para a água.

Passo 4

Agora relacionamos com o ferro para obter a capacidade calorífica total C_{\text{Fe}}.
  • Variação de temperatura do ferro (em magnitude): \Delta T_{\text{Fe}} = 70^\circ\text{C} - 23^\circ\text{C} = 47^\circ\text{C}.
  • Pelo balanço de calor (calor cedido pelo ferro = calor absorvido pela água): C_{\text{Fe}} \, \Delta T_{\text{Fe}} = Q_{\text{água}}.áLogo C_{\text{Fe}} = \frac{Q_{\text{água}}}{\Delta T_{\text{Fe}}} = \frac{1254\\ \mathrm{J}}{47^\circ\text{C}}.á
  • Fazendo a divisão: C_{\text{Fe}} \approx 26{,}68\\ \mathrm{J/^\circ C}.(Arredondando podemos usar 26{,}7\\ \mathrm{J/^\circ C}.)
Esse é o resultado numérico de (a): a capacidade térmica (capacidade calorífica total) do cubo de ferro.

Passo 5

Agora tratamos (b) e (c) e mostramos como obter se a massa do cubo for fornecida.
(b) Capacidade calorífica específica c_{\text{Fe}}.
  • Definição: c_{\text{Fe}} = \dfrac{C_{\text{Fe}}}{m_{\text{Fe}}}, onde m_{\text{Fe}} é a massa do cubo.
  • Como o enunciado não fornece m_{\text{Fe}}, não podemos dar um valor numérico absoluto para c_{\text{Fe}}. Podemos, porém, escrever a resposta em função de m_{\text{Fe}} (usando massa em gramas para dar c em \mathrm{J/(g\cdot^\circ C)}): c_{\text{Fe}} = \frac{26{,}68\\ \mathrm{J/^\circ C}}{m_{\text{Fe}}\\ (\mathrm{g})}\quad\text{(em }\mathrm{J/(g\cdot^\circ C)}\text{)}.Se preferirmos c em \mathrm{J/(kg\cdot^\circ C)} e m_{\text{Fe}} em kg, então c_{\text{Fe}} = \frac{26{,}68\\ \mathrm{J/^\circ C}}{m_{\text{Fe}}\\ (\mathrm{kg})}\quad\text{(em }\mathrm{J/(kg\cdot^\circ C)}\text{)}.
  • Exemplo prático (só para fixar a ideia): se o cubo tivesse m_{\text{Fe}}=100\\ \text{g}, então c_{\text{Fe}}=\frac{26{,}68}{100}=0{,}2668\\ \mathrm{J/(g\cdot^\circ C)}=266{,}8\\ \mathrm{J/(kg\cdot^\circ C)}.(Isto é só um exemplo; o enunciado não deu a massa real.)
(c) Capacidade calorífica molar C_{m,\text{Fe}}.
  • Definição: C_{m,\text{Fe}} = c_{\text{Fe}} \, M, onde M é a massa molar do ferro. Tomando M=55{,}85\\ \mathrm{g/mol}: C_{m,\text{Fe}} = c_{\text{Fe}} \times 55{,}85\\ \mathrm{g/mol}.
  • Substituindo c_{\text{Fe}} = \dfrac{26{,}68}{m_{\text{Fe}}} (com m_{\text{Fe}} em gramas) obtemos: C_{m,\text{Fe}} = \frac{26{,}68}{m_{\text{Fe}}\\ (\mathrm{g})} \times 55{,}85\\ \mathrm{J/(mol\cdot^\circ C)}.
  • Alternativamente, usando o número de mols n = \dfrac{m_{\text{Fe}}}{M}, a capacidade molar também pode ser escrita como C_{m,\text{Fe}} = \frac{C_{\text{Fe}}}{n} = \frac{C_{\text{Fe}}\,M}{m_{\text{Fe}}}.
  • Exemplo ilustrativo: se m_{\text{Fe}}=100\\ \text{g}, então com o c do exemplo anterior: C_{m,\text{Fe}} = 0{,}2668\\ \times 55{,}85 \approx 14{,}9\\ \mathrm{J/(mol\cdot^\circ C)}.(Novamente: é só exemplo; valor real depende de m_{\text{Fe}}.)
Resumo do que falta: para (b) e (c) precisamos da massa m_{\text{Fe}} do cubo. Sem essa informação só podemos fornecer as expressões em função de m_{\text{Fe}}, como fiz acima.

Resposta

(a) C_{\text{Fe}}\approx 26{,}68\\ \mathrm{J/^\circ C}.\n
(b) c_{\text{Fe}}=\dfrac{26{,}68\\ \mathrm{J/^\circ C}}{m_{\text{Fe}}\\ (\mathrm{g})}\quad (em \mathrm{J/(g\cdot^\circ C)}); equivalente \;c_{\text{Fe}}=\dfrac{26{,}68}{m_{\text{Fe}}\\ (\mathrm{kg})}\\ \mathrm{J/(kg\cdot^\circ C)} se m_{\text{Fe}} em kg.\n
(c) C_{m,\text{Fe}}=\dfrac{26{,}68}{m_{\text{Fe}}\\ (\mathrm{g})}\times 55{,}85\\ \mathrm{J/(mol\cdot^\circ C)}\quad (ou C_{m,\text{Fe}}=\dfrac{C_{\text{Fe}}\,M}{m_{\text{Fe}}}).

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