Um cubo de gelo, de
, é colocado em um lago cuja temperatura é
. Calcule a variação da entropia do sistema cubo-lago quando o cubo de gelo entra em equilíbrio térmico com o lago. O calor específico do gelo é
. (Sugestão: O cubo de gelo afeta a temperatura do lago?)
Passo 1
O enunciado pede a variação de entropia do sistema “cubo de gelo + lago” quando o cubo entra em equilíbrio térmico com o lago. Informações dadas e o que sabemos do enunciado:
- Massa do cubo:
. - Temperatura inicial do gelo:
ou . - Temperatura do lago (e do equilíbrio):
ou . - Calor específico do gelo (dado):
. - O enunciado sugere que o cubo não altera a temperatura do lago: vamos tratar o lago como um reservatório térmico à temperatura constante
. - Faltam o calor latente de fusão do gelo e o calor específico da água líquida; usarei valores padrão conhecidos:
- Calor latente de fusão do gelo:
(valor típico). - Calor específico da água líquida:
.
- Calor latente de fusão do gelo:
Pergunta concreta: calcular
quando o cubo, inicial a
, fica em equilíbrio no lago a
.
Passo 2
Estratégia e fórmulas que usaremos (explicação didática passo a passo):
-
Entropia diferencial em um processo reversível é
. Para aquecimento (à pressão constante) de uma substância com calor específico e massa , o calor reversível é . Integrando: Observação importante: as temperaturasdevem estar em kelvin (K) porque a fórmula usa a escala absoluta. -
Para uma transformação de fusão (troca de calor a temperatura constante
), a variação de entropia é -
O cubo passa por três etapas:
- Aquecimento do gelo sólido de
até . - Fusão a
. - Aquecimento da água líquida fundida de
até .
- Aquecimento do gelo sólido de
-
O lago sendo um reservatório a temperatura constante
tem variação de entropia Aquié positivo e igual ao calor total absorvido pelo cubo (conservação de energia).
Passo 3
Cálculo da variação de entropia do gelo ao aquecer de
para
.
Usamos a fórmula do aquecimento:
onde
e
.
Substituindo:
Calculemos a razão e o logaritmo:
Logo
Passo 4
Cálculo da variação de entropia na fusão do gelo (a
).
A variação é
Substituindo
,
e
:
Calculando:
Passo 5
Cálculo da variação de entropia ao aquecer a água líquida de
para
.
Usamos
com
,
,
.
Substituindo:
Razão e ln:
Logo
Passo 6
Somando as contribuições do cubo (gelo
água a
):
Passo 7
Cálculo do calor total absorvido pelo cubo (isso é necessário para a variação de entropia do lago).
Calores parciais:
Somando:
Como o lago cede esse calor, sua variação de entropia é
Calculando:
Passo 8
Variação total de entropia do sistema cubo + lago:
Interpretação rápida: o resultado é positivo (aprox.
), conforme esperado pela segunda lei da termodinâmica — processos irreversíveis (o gelo esquentar e fundir num lago a temperatura diferente) aumentam a entropia total. A diferença pequena mostra que tratamos o lago como grande reservatório; se o lago fosse finito, teríamos que calcular sua variação de temperatura, mas aqui a sugestão do enunciado permite desprezar esse efeito.