Um cubo de gelo, de 10 \mathrm{~g} \mathrm{a}-10^{\circ} \mathrm{C}, é colocado em um lago cuja temperatura é 15^{\circ} \mathrm{C}. Calcule a variação da entropia do sistema cubo-lago quando o cubo de gelo entra em equilíbrio térmico com o lago. O calor específico do gelo é 2220 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}. (Sugestão: O cubo de gelo afeta a temperatura do lago?)

Passo 1

O enunciado pede a variação de entropia do sistema “cubo de gelo + lago” quando o cubo entra em equilíbrio térmico com o lago. Informações dadas e o que sabemos do enunciado:
  • Massa do cubo: m=10\\ \mathrm{g}=0{,}01\\ \mathrm{kg}.
  • Temperatura inicial do gelo: -10^\circ\mathrm{C} ou T_{i}=-10^\circ\mathrm{C}=263{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Temperatura do lago (e do equilíbrio): 15^\circ\mathrm{C} ou T_{f}=15^\circ\mathrm{C}=288{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Calor específico do gelo (dado): c_{\text{gelo}}=2220\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
  • O enunciado sugere que o cubo não altera a temperatura do lago: vamos tratar o lago como um reservatório térmico à temperatura constante T_{\text{lago}}=288{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Faltam o calor latente de fusão do gelo e o calor específico da água líquida; usarei valores padrão conhecidos:
    • Calor latente de fusão do gelo: L_f=3{,}34\times10^{5}\\ \mathrm{J/kg} (valor típico).
    • Calor específico da água líquida: c_{\text{água}}=4186\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}á.
Pergunta concreta: calcular \Delta S_{\text{sistema}}=\Delta S_{\text{cubo}}+\Delta S_{\text{lago}} quando o cubo, inicial a -10^\circ\mathrm{C}, fica em equilíbrio no lago a 15^\circ\mathrm{C}.

Passo 2

Estratégia e fórmulas que usaremos (explicação didática passo a passo):
  • Entropia diferencial em um processo reversível é dS=\dfrac{dQ_{\text{rev}}}{T}. Para aquecimento (à pressão constante) de uma substância com calor específico c e massa m, o calor reversível é dQ_{\text{rev}}=m c\, dT. Integrando:
    \Delta S = \int_{T_i}^{T_f} \frac{m c\, dT}{T} = m c \ln\!\left(\frac{T_f}{T_i}\right).
    Observação importante: as temperaturas T devem estar em kelvin (K) porque a fórmula usa a escala absoluta.
  • Para uma transformação de fusão (troca de calor a temperatura constante T_m), a variação de entropia é
    \Delta S_{\text{fusão}} = \frac{Q_{\text{fusão}}}{T_m} = \frac{m L_f}{T_m}.ãã
  • O cubo passa por três etapas:
    1. Aquecimento do gelo sólido de -10^\circ\mathrm{C} até 0^\circ\mathrm{C}.
    2. Fusão a 0^\circ\mathrm{C}.
    3. Aquecimento da água líquida fundida de 0^\circ\mathrm{C} até 15^\circ\mathrm{C}.
  • O lago sendo um reservatório a temperatura constante T_{\text{lago}}=288{,}15\\ \mathrm{K} tem variação de entropia
    \Delta S_{\text{lago}} = -\frac{Q_{\text{cedido pelo lago}}}{T_{\text{lago}}}.
    Aqui Q_{\text{cedido pelo lago}} é positivo e igual ao calor total absorvido pelo cubo (conservação de energia).

Passo 3

Cálculo da variação de entropia do gelo ao aquecer de -10^\circ\mathrm{C} para 0^\circ\mathrm{C}.
Usamos a fórmula do aquecimento:
\Delta S_1 = m\, c_{\text{gelo}} \ln\!\left(\frac{T_{m}}{T_{i}}\right),
onde T_{m}=0^\circ\mathrm{C}=273{,}15\\ \mathrm{K} e T_i=263{,}15\\ \mathrm{K}.
Substituindo:
\Delta S_1 = 0{,}01\cdot 2220 \ln\!\left(\frac{273{,}15}{263{,}15}\right).
Calculemos a razão e o logaritmo:
\frac{273{,}15}{263{,}15}\approx 1{,}0380,\qquad \ln(1{,}0380)\approx 0{,}0373.
Logo
\Delta S_1 \approx 0{,}01\cdot 2220 \cdot 0{,}0373 \approx 0{,}83\\ \mathrm{J/K}.

Passo 4

Cálculo da variação de entropia na fusão do gelo (a 0^\circ\mathrm{C}).
A variação é
\Delta S_2 = \frac{m L_f}{T_m}.
Substituindo m=0{,}01\\ \mathrm{kg}, L_f=3{,}34\times 10^{5}\\ \mathrm{J/kg} e T_m=273{,}15\\ \mathrm{K}:
\Delta S_2 = \frac{0{,}01\cdot 3{,}34\times10^{5}}{273{,}15} = \frac{3340}{273{,}15}\\ \mathrm{J/K}.
Calculando:
\Delta S_2 \approx 12{,}23\\ \mathrm{J/K}.

Passo 5

Cálculo da variação de entropia ao aquecer a água líquida de 0^\circ\mathrm{C} para 15^\circ\mathrm{C}.
Usamos
\Delta S_3 = m\, c_{\text{água}} \ln\!\left(\frac{T_{f}}{T_{m}}\right),á
com T_f=288{,}15\\ \mathrm{K}, T_m=273{,}15\\ \mathrm{K}, c_{\text{água}}=4186\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}á.
Substituindo:
\Delta S_3 = 0{,}01\cdot 4186 \ln\!\left(\frac{288{,}15}{273{,}15}\right).
Razão e ln:
\frac{288{,}15}{273{,}15}\approx 1{,}0550,\qquad \ln(1{,}0550)\approx 0{,}0536.
Logo
\Delta S_3 \approx 0{,}01\cdot 4186 \cdot 0{,}0536 \approx 2{,}24\\ \mathrm{J/K}.

Passo 6

Somando as contribuições do cubo (gelo \to água a 15^\circ\mathrm{C}):
\Delta S_{\text{cubo}} = \Delta S_1 + \Delta S_2 + \Delta S_3 \approx 0{,}83 + 12{,}23 + 2{,}24 \approx 15{,}30\\ \mathrm{J/K}.

Passo 7

Cálculo do calor total absorvido pelo cubo (isso é necessário para a variação de entropia do lago).
Calores parciais:
Q_1 = m c_{\text{gelo}}(T_m-T_i)=0{,}01\cdot 2220\cdot(273{,}15-263{,}15)=222\\ \mathrm{J},
Q_2 = m L_f = 0{,}01\cdot 3{,}34\times10^{5}=3340\\ \mathrm{J},
Q_3 = m c_{\text{água}}(T_f-T_m)=0{,}01\cdot 4186\cdot(288{,}15-273{,}15)=0{,}01\cdot 4186\cdot 15 \approx 627{,}9\\ \mathrm{J}.á
Somando:
Q_{\text{total}} = Q_1+Q_2+Q_3 \approx 222 + 3340 + 627{,}9 \approx 4189{,}9\\ \mathrm{J}.
Como o lago cede esse calor, sua variação de entropia é
\Delta S_{\text{lago}} = -\frac{Q_{\text{total}}}{T_{\text{lago}}} = -\frac{4189{,}9}{288{,}15}\\ \mathrm{J/K}.
Calculando:
\Delta S_{\text{lago}} \approx -14{,}55\\ \mathrm{J/K}.

Passo 8

Variação total de entropia do sistema cubo + lago:
\Delta S_{\text{sistema}} = \Delta S_{\text{cubo}} + \Delta S_{\text{lago}} \approx 15{,}30 + (-14{,}55) \approx 0{,}75\\ \mathrm{J/K}.
Interpretação rápida: o resultado é positivo (aprox. 0{,}75\\ \mathrm{J/K}), conforme esperado pela segunda lei da termodinâmica — processos irreversíveis (o gelo esquentar e fundir num lago a temperatura diferente) aumentam a entropia total. A diferença pequena mostra que tratamos o lago como grande reservatório; se o lago fosse finito, teríamos que calcular sua variação de temperatura, mas aqui a sugestão do enunciado permite desprezar esse efeito.

Resposta

\Delta S_{\text{sistema}} \approx 0{,}75\\ \mathrm{J/K}

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