Uma partícula com 200 g de massa movendo-se a
colide com outra partícula, inicialmente em repouso, que tem 150 g de massa. Considere que a colisão seja perfeitamente elástica. Calcule a velocidade de cada uma delas após a colisão.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a velocidade final de cada partícula após a colisão.
Informações fornecidas (vou listar tudo explicitamente):
- A massa da partícula 1 é
. - A velocidade inicial da partícula 1 é
. - A massa da partícula 2 é
. - A velocidade inicial da partícula 2 é
(está em repouso). - A colisão é perfeitamente elástica (isso significa que tanto o momento linear total quanto a energia cinética total do sistema são conservados).
Nada mais será assumido; a resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Definindo as incógnitas que queremos encontrar:
- Seja
a velocidade final da partícula 1 (após a colisão). - Seja
a velocidade final da partícula 2 (após a colisão).
Vou trabalhar com as unidades dadas (
e
). Isso é perfeitamente válido porque ambas as massas estão em
e as velocidades em
; as equações de conservação funcionam com qualquer sistema consistente de unidades.
Passo 3
Escrevendo a conservação do momento linear (quantidade de movimento) para a colisão unidimensional:
Explicação: cada termo
é o momento da partícula
. A soma dos momentos antes deve ser igual à soma depois porque não há forças externas impulsivas no sistema durante a colisão.
Com os dados, essa equação fica
Passo 4
Escrevendo a conservação da energia cinética (por ser colisão perfeitamente elástica):
Explicação: em colisões perfeitamente elásticas a energia cinética total se conserva; cada termo
é a energia cinética da partícula
.
Multiplico a equação por
para simplificar (elimina os meios):
Passo 5
Vou transformar as duas equações para obter relações que facilitem a solução.
Da conservação do momento tiro:
Explicação: rearranjei a equação do Passo 3 subtraindo
e
de ambos os lados.
Da conservação da energia (já multiplicada por
):
Agora fatoro as diferenças de quadrados:
Passo 6
Usando a igualdade do Passo 5, note que
aparece tanto na equação de momento quanto na de energia. Substituo
por
na equação fatorada da energia; isso cancela um fator comum e dá:
Explicação didática: esse é um passo importante e comum em colisões elásticas 1D — a combinação das duas leis implica que a soma das velocidades antes iguala a soma depois para os pares correspondentes, o que também pode ser reescrito como inversão da velocidade relativa (vou mostrar essa forma a seguir).
Rearranjando, obtemos a forma frequentemente usada:
Interpretação física: a velocidade relativa entre as partículas muda de sinal (inverte) numa colisão elástica em uma dimensão—elas trocam “componente” da velocidade relativa.
Passo 7
Agora uso as duas relações que já tenho (momento e a relação encontrada) para resolver explicitamente
e
.
Escrevendo de novo as duas equações úteis:
- Conservação do momento:
- Relação obtida:
Como
(partícula 2 inicialmente em repouso), a equação (2) simplifica para:
Substituo esse
na equação do momento:
Passo 8
Agora faço as manipulações algébricas para isolar
.
Expandindo o lado direito:
Agrupando os termos com
e os termos com
:
Ou seja,
Logo:
Explicação: essa é a fórmula padrão para velocidade final da primeira partícula em uma colisão perfeitamente elástica 1D, quando usamos conservação do momento e da energia.
Passo 9
Calculo
usando
. Substituindo a expressão de
obtida no passo anterior:
Explicação: esta também é a fórmula padrão para a velocidade final da segunda partícula quando a segunda está inicialmente em repouso.
Passo 10
Agora substituo os valores numéricos.
Primeiro calculo
e
:
Usando
:
Para
:
Fazendo a divisão dá aproximadamente
Arredondando razoavelmente (mantendo duas casas decimais significativas) fica
.
Para
:
Fazendo a divisão dá aproximadamente
Arredondando fica
.
Observação rápida de sentido: ambos os sinais são positivos, ou seja, ambas as partículas seguem no mesmo sentido da velocidade inicial da partícula 1 após a colisão (a partícula mais lenta continua para frente mas muito reduzida; a segunda sai mais rápido).
Passo 11
Checagem rápida (opcional, mas útil para prova): verificar conservação do momento com os valores calculados.
Momento inicial:
Momento final calculado:
igual ao inicial (bom — conservação satisfeita). Isso dá confiança nos resultados.