Uma partícula com 200 g de massa movendo-se a 5,0 \mathrm{~cm} / \mathrm{s} colide com outra partícula, inicialmente em repouso, que tem 150 g de massa. Considere que a colisão seja perfeitamente elástica. Calcule a velocidade de cada uma delas após a colisão.

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a velocidade final de cada partícula após a colisão.
Informações fornecidas (vou listar tudo explicitamente):
  • A massa da partícula 1 é m_1=200\\ \mathrm{g}.
  • A velocidade inicial da partícula 1 é v_{1}=5,0\\ \mathrm{cm/s}.
  • A massa da partícula 2 é m_2=150\\ \mathrm{g}.
  • A velocidade inicial da partícula 2 é v_{2}=0\\ \mathrm{cm/s} (está em repouso).
  • A colisão é perfeitamente elástica (isso significa que tanto o momento linear total quanto a energia cinética total do sistema são conservados).
Nada mais será assumido; a resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Definindo as incógnitas que queremos encontrar:
  • Seja v_1' a velocidade final da partícula 1 (após a colisão).
  • Seja v_2' a velocidade final da partícula 2 (após a colisão).
Vou trabalhar com as unidades dadas ( \mathrm{g} e \mathrm{cm/s}). Isso é perfeitamente válido porque ambas as massas estão em \mathrm{g} e as velocidades em \mathrm{cm/s}; as equações de conservação funcionam com qualquer sistema consistente de unidades.

Passo 3

Escrevendo a conservação do momento linear (quantidade de movimento) para a colisão unidimensional:
m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 v_1' + m_2 v_2'.
Explicação: cada termo m_i v_i é o momento da partícula i. A soma dos momentos antes deve ser igual à soma depois porque não há forças externas impulsivas no sistema durante a colisão.
Com os dados, essa equação fica
200\cdot 5,0 + 150\cdot 0 = 200\cdot v_1' + 150\cdot v_2'.

Passo 4

Escrevendo a conservação da energia cinética (por ser colisão perfeitamente elástica):
\frac{1}{2}m_1 v_1^{2} + \frac{1}{2}m_2 v_2^{2} = \frac{1}{2}m_1 v_1'^{2} + \frac{1}{2}m_2 v_2'^{2}.
Explicação: em colisões perfeitamente elásticas a energia cinética total se conserva; cada termo \tfrac{1}{2}m_i v_i^2 é a energia cinética da partícula i.
Multiplico a equação por 2 para simplificar (elimina os meios):
m_1 v_1^{2} + m_2 v_2^{2} = m_1 v_1'^{2} + m_2 v_2'^{2}.

Passo 5

Vou transformar as duas equações para obter relações que facilitem a solução.
Da conservação do momento tiro:
m_1(v_1 - v_1') = m_2(v_2' - v_2).
Explicação: rearranjei a equação do Passo 3 subtraindo m_1 v_1' e m_2 v_2 de ambos os lados.
Da conservação da energia (já multiplicada por 2):
m_1(v_1^{2} - v_1'^{2}) = m_2(v_2'^{2} - v_2^{2}).
Agora fatoro as diferenças de quadrados:
m_1(v_1 - v_1')(v_1 + v_1') = m_2(v_2' - v_2)(v_2' + v_2).

Passo 6

Usando a igualdade do Passo 5, note que m_1(v_1 - v_1') aparece tanto na equação de momento quanto na de energia. Substituo m_1(v_1 - v_1') por m_2(v_2' - v_2) na equação fatorada da energia; isso cancela um fator comum e dá:
v_1 + v_1' = v_2' + v_2.
Explicação didática: esse é um passo importante e comum em colisões elásticas 1D — a combinação das duas leis implica que a soma das velocidades antes iguala a soma depois para os pares correspondentes, o que também pode ser reescrito como inversão da velocidade relativa (vou mostrar essa forma a seguir).
Rearranjando, obtemos a forma frequentemente usada:
v_1 - v_2 = -(v_1' - v_2').
Interpretação física: a velocidade relativa entre as partículas muda de sinal (inverte) numa colisão elástica em uma dimensão—elas trocam “componente” da velocidade relativa.

Passo 7

Agora uso as duas relações que já tenho (momento e a relação encontrada) para resolver explicitamente v_1' e v_2'.
Escrevendo de novo as duas equações úteis:
  1. Conservação do momento:
m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 v_1' + m_2 v_2'.
  1. Relação obtida:
v_1 + v_1' = v_2' + v_2.
Como v_2=0 (partícula 2 inicialmente em repouso), a equação (2) simplifica para:
v_2' = v_1 + v_1'.
Substituo esse v_2' na equação do momento:
m_1 v_1 = m_1 v_1' + m_2(v_1 + v_1').

Passo 8

Agora faço as manipulações algébricas para isolar v_1'.
Expandindo o lado direito:
m_1 v_1 = m_1 v_1' + m_2 v_1 + m_2 v_1'.
Agrupando os termos com v_1' e os termos com v_1:
m_1 v_1 - m_2 v_1 = v_1'(m_1 + m_2).
Ou seja,
v_1'(m_1 + m_2) = v_1(m_1 - m_2).
Logo:
v_1' = v_1\cdot\frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}.
Explicação: essa é a fórmula padrão para velocidade final da primeira partícula em uma colisão perfeitamente elástica 1D, quando usamos conservação do momento e da energia.

Passo 9

Calculo v_2' usando v_2' = v_1 + v_1'. Substituindo a expressão de v_1' obtida no passo anterior:
v_2' = v_1 + v_1\cdot\frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} = v_1\left(\frac{m_1 + m_2}{m_1 + m_2} + \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}\right) = v_1\cdot\frac{2m_1}{m_1 + m_2}.
Explicação: esta também é a fórmula padrão para a velocidade final da segunda partícula quando a segunda está inicialmente em repouso.

Passo 10

Agora substituo os valores numéricos.
Primeiro calculo m_1 + m_2 e m_1 - m_2:
m_1 + m_2 = 200 + 150 = 350\\ \mathrm{g},
m_1 - m_2 = 200 - 150 = 50\\ \mathrm{g}.
Usando \;v_1=5,0\\ \mathrm{cm/s}:
Para v_1':
v_1' = 5,0\cdot\frac{50}{350} = 5,0\cdot\frac{1}{7} = \frac{5}{7}\\ \mathrm{cm/s}.
Fazendo a divisão dá aproximadamente
v_1' \approx 0,7142857\\ \mathrm{cm/s}.
Arredondando razoavelmente (mantendo duas casas decimais significativas) fica v_1' \approx 0,71\\ \mathrm{cm/s}.
Para v_2':
v_2' = 5,0\cdot\frac{2\cdot 200}{350} = 5,0\cdot\frac{400}{350} = 5,0\cdot\frac{8}{7} = \frac{40}{7}\\ \mathrm{cm/s}.
Fazendo a divisão dá aproximadamente
v_2' \approx 5,7142857\\ \mathrm{cm/s}.
Arredondando fica v_2' \approx 5,71\\ \mathrm{cm/s}.
Observação rápida de sentido: ambos os sinais são positivos, ou seja, ambas as partículas seguem no mesmo sentido da velocidade inicial da partícula 1 após a colisão (a partícula mais lenta continua para frente mas muito reduzida; a segunda sai mais rápido).

Passo 11

Checagem rápida (opcional, mas útil para prova): verificar conservação do momento com os valores calculados.
Momento inicial:
p_{\text{inicial}} = m_1 v_1 + m_2 v_2 = 200\cdot 5,0 + 150\cdot 0 = 1000\\ \text{(unidades g·cm/s)}.
Momento final calculado:
p_{\text{final}} = 200\cdot 0,7142857 + 150\cdot 5,7142857 \approx 142,8571 + 857,1429 = 1000\\ \text{g·cm/s},
igual ao inicial (bom — conservação satisfeita). Isso dá confiança nos resultados.

Resposta

v_1' = 0,71\\ \mathrm{cm/s}
v_2' = 5,71\\ \mathrm{cm/s}

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