Uma partícula com 200 g de massa movendo-se a 5,0 \mathrm{~cm} / \mathrm{s} colide com outra partícula, inicialmente em repouso, que tem 150 g de massa. Considere que a colisão seja perfeitamente inelástica. Calcule a velocidade das partículas após a colisão e a variação na energia cinética deste sistema.

Passo 1

O enunciado fornece duas partículas que colidem de forma perfeitamente inelástica (elas grudam). Perguntas: qual a velocidade comum após a colisão e qual a variação da energia cinética do sistema? Dados fornecidos (vou listar exatamente o que temos):
m_1=200\\ \mathrm{g},\quad v_{1}=5{,}0\\ \mathrm{cm/s},\quad m_2=150\\ \mathrm{g},\quad v_{2}=0\\ \mathrm{(repouso)}.
A colisão é perfeitamente inelástica (as partículas ficam unidas após o choque), e precisamos calcular:
  1. a velocidade final comum v_f das partículas após a colisão;
  2. a variação da energia cinética \Delta K = K_{\text{final}}-K_{\text{inicial}}.

Passo 2

Primeiro converto todas as unidades para o sistema SI (metros e quilogramas), porque as fórmulas de momento e energia usam essas unidades:
m_1=200\\ \mathrm{g}=0{,}200\\ \mathrm{kg},
m_2=150\\ \mathrm{g}=0{,}150\\ \mathrm{kg},
v_{1}=5{,}0\\ \mathrm{cm/s}=0{,}05\\ \mathrm{m/s},
v_{2}=0\\ \mathrm{m/s}.
Explicação curta: eu multiplico gramas por 10^{-3} para obter quilogramas e centímetros por 10^{-2} para obter metros.

Passo 3

Usamos conservação do momento linear (pelo enunciado assumimos que não há forças externas impulsivas significativas durante a colisão). A fórmula da conservação do momento para duas partículas é
m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1+m_2)\,v_f,
onde m_1,m_2 são as massas, v_1,v_2 são as velocidades iniciais, e v_f é a velocidade comum após a colisão (porque é perfeitamente inelástica). Vou explicar cada termo: m_1 v_1 e m_2 v_2 são os momentos lineares das duas partículas antes da colisão; o somatório é o momento total que se conserva; o lado direito é o momento total após a colisão, com massas somadas movendo-se com v_f.
Agora isolamos v_f:
v_f=\frac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1+m_2}.
Substituindo os números (lembrando v_2=0):
v_f=\frac{0{,}200\cdot 0{,}05 + 0{,}150\cdot 0}{0{,}200+0{,}150} =\frac{0{,}010}{0{,}350}.
Podemos simplificar exatamente:
\frac{0{,}010}{0{,}350}=\frac{1}{35}\\ \mathrm{m/s}.
Em decimal:
v_f=\frac{1}{35}\\ \mathrm{m/s}\approx 0{,}02857\\ \mathrm{m/s}=2{,}857\\ \mathrm{cm/s}.

Passo 4

Agora calculamos a energia cinética inicial do sistema. A fórmula da energia cinética de uma partícula é
K=\tfrac{1}{2} m v^2,
onde m é a massa e v a velocidade. A energia cinética total inicial é a soma das energias das duas partículas:
K_{\text{inicial}}=\tfrac{1}{2}m_1 v_1^2 + \tfrac{1}{2}m_2 v_2^2.
Como v_2=0, o segundo termo é zero. Substituindo:
K_{\text{inicial}}=\tfrac{1}{2}\cdot 0{,}200\cdot (0{,}05)^2 =0{,}5\cdot 0{,}200\cdot 0{,}0025.
Faço as contas passo a passo:
0{,}5\cdot 0{,}200}=0{,}100,\quad 0{,}100\cdot 0{,}0025=0{,}00025\\ \mathrm{J}.
Portanto
K_{\text{inicial}}=0{,}00025\\ \mathrm{J}=\frac{1}{4000}\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Calculamos a energia cinética final do sistema (as duas partículas unidas, massa m_1+m_2, velocidade v_f). Usamos novamente K=\tfrac{1}{2} M V^2 com M=m_1+m_2 e V=v_f:
K_{\text{final}}=\tfrac{1}{2}(m_1+m_2)\,v_f^2.
Já temos m_1+m_2=0{,}350\\ \mathrm{kg} e v_f=\dfrac{1}{35}\\ \mathrm{m/s}. Para facilitar, uso a forma fracionária exata:
v_f^2=\left(\frac{1}{35}\right)^2=\frac{1}{1225},
\tfrac{1}{2}(m_1+m_2)=\tfrac{1}{2}\cdot 0{,}350=0{,}175=\frac{7}{40}.
Logo
K_{\text{final}}=\frac{7}{40}\cdot\frac{1}{1225}=\frac{7}{49000}=\frac{1}{7000}\\ \mathrm{J}.
Em decimal:
K_{\text{final}}=\frac{1}{7000}\\ \mathrm{J}\approx 0{,}00014285714\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Agora a variação da energia cinética (o que foi “perdido” — transformado em calor, deformação, som etc., porque a colisão é inelástica) é
\Delta K=K_{\text{final}}-K_{\text{inicial}}=\frac{1}{7000}-\frac{1}{4000}.
Faço a subtração exata usando denominador comum 28000:
\Delta K=\frac{4}{28000}-\frac{7}{28000}=-\frac{3}{28000}\\ \mathrm{J}.
Em decimal:
\Delta K=-0{,}000107142857\\ \mathrm{J}\approx -1{,}0714\times 10^{-4}\\ \mathrm{J}.
O sinal negativo indica que a energia cinética diminuiu (isto é esperado em colisão perfeitamente inelástica).

Resposta

v_f=\dfrac{1}{35}\\ \mathrm{m/s}\approx 0{,}02857\\ \mathrm{m/s}=2{,}857\\ \mathrm{cm/s}
\Delta K=-\dfrac{3}{28000}\\ \mathrm{J}\approx -1{,}0714\times 10^{-4}\\ \mathrm{J}

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