En 4 Um cubo de gelo de massa 10 g à temperatura de -10^{\circ} \mathrm{C} é colocado em um lago cuja temperatura é 15^{\circ} \mathrm{C}. Após o sistema entrar em equilíbrio térmico, calcule a variação de entropia: (a) do cubo de gelo; (b) do lago; (c) do sistema cubo+lago. O calor específico do gelo é 2220 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}.

Passo 1

Vou listar o que o enunciado dá e o que é pedido, claramente (sem resolver nada ainda).
  • Dado: massa do cubo de gelo \,m=10\\ \text{g}=0{,}01\\ \text{kg}.
  • Dado: temperatura inicial do gelo \,T_{gelo,i}=-10^\circ\text{C}=263{,}15\\ \text{K}.
  • Dado: temperatura do lago (reservatório) \,T_{lago}=15^\circ\text{C}=288{,}15\\ \text{K}.
  • Dado: calor específico do gelo \,c_{gelo}=2220\\ \text{J}\,\text{kg}^{-1}\text{K}^{-1} (fornecido).
  • Pedido:
    (a) variação de entropia do cubo de gelo (durante todo o processo até o equilíbrio);
    (b) variação de entropia do lago;
    (c) variação de entropia do sistema cubo+lago.
Observação importante (porque não foi fornecido no enunciado): para completar os cálculos será necessário o calor latente de fusão do gelo e o calor específico da água líquida. Vou adotar os valores usuais:
  • calor latente de fusão do gelo \,L_f=3{,}34\times10^{5}\\ \text{J}\,\text{kg}^{-1},
  • calor específico da água líquida \,c_{água}=4186\\ \text{J}\,\text{kg}^{-1}\text{K}^{-1}á.
Se esses valores fossem diferentes, os resultados mudariam; como o enunciado não os deu, uso os valores padrão.

Passo 2

Identificar os processos térmicos que acontecem no cubo de gelo (etapas físicas) e por que o lago pode ser tratado como reservatório a temperatura constante.
  • Etapas para o cubo de gelo até o equilíbrio térmico com o lago:
    1. aquecimento do gelo de -10^\circ\text{C} até 0^\circ\text{C} (sólido);
    2. fusão (mudança de fase) a 0^\circ\text{C} — gelo passa a água a 0^\circ\text{C};
    3. aquecimento da água resultante de 0^\circ\text{C} até 15^\circ\text{C} (temperatura do lago).
  • Justificativa para tratar o lago como reservatório: o lago tem massa muito maior que o cubo; ao ceder o calor necessário para aquecer e derreter o cubo, sua temperatura efetivamente não muda (assumimos T_{lago} constante = 288{,}15\\ \text{K}). Isso permite usar \Delta S_{lago}=Q_{lago}/T_{lago}.

Passo 3

Calcular os calores trocados em cada etapa (quantidade de calor absorvida pelo cubo) — faço as contas passo a passo.
  • Etapa 1 (aquecimento do gelo de -10^\circ\text{C} a 0^\circ\text{C}):
Q_1 = m\,c_{gelo}\, \Delta T = 0{,}01\cdot 2220\cdot (0-(-10)) = 0{,}01\cdot 2220\cdot 10 = 222\\ \text{J}.
  • Etapa 2 (fusão do gelo a 0^\circ\text{C}):
Q_2 = m\,L_f = 0{,}01\cdot 3{,}34\times10^{5} = 3340\\ \text{J}.
  • Etapa 3 (aquecimento da água de 0^\circ\text{C} a 15^\circ\text{C}):
Q_3 = m\,c_{água}\,(15-0) = 0{,}01\cdot 4186\cdot 15 = 627{,}9\\ \text{J}.á
  • Calor total absorvido pelo cubo (soma das três etapas):
Q_{absorvido} = Q_1+Q_2+Q_3 = 222 + 3340 + 627{,}9 = 4189{,}9\\ \text{J}.
O lago perde esse mesmo calor (com sinal trocado):
Q_{lago} = -\,Q_{absorvido} = -4189{,}9\\ \text{J}.

Passo 4

Explicar a definição e as fórmulas para variação de entropia que vou usar, e deduzir as expressões aplicáveis a cada etapa.
  • Definição: a variação de entropia para um processo reversível é
\Delta S=\int \frac{\delta Q_{rev}}{T}.
Para aquecimento (ou resfriamento) de uma substância com calor específico aproximadamente constante, \delta Q_{rev}=m c\, dT, então
\Delta S = \int_{T_i}^{T_f} \frac{m c\, dT}{T} = m c \ln\!\left(\frac{T_f}{T_i}\right).
Aqui T_i e T_f devem estar em kelvin.
  • Para uma mudança de fase isoterma (fusão) a temperatura constante T_{fusão}ã:
\Delta S = \frac{Q_{fase}}{T_{fusão}} = \frac{m L_f}{T_{fusão}}.ãã
Vou aplicar essas fórmulas etapa por etapa. Lembre que as temperaturas em kelvin são:
T_{gelo,i}=263{,}15\\ \text{K},\quad T_{gelo,f}=T_{fusão}=273{,}15\\ \text{K},\quad T_{final}=T_{lago}=288{,}15\\ \text{K}.ã

Passo 5

Calcular a variação de entropia do cubo de gelo nas três etapas e somar.
  • Etapa 1 (aquecimento do gelo de 263{,}15\\ \text{K} a 273{,}15\\ \text{K}):
\Delta S_1 = m\,c_{gelo}\,\ln\!\left(\frac{273{,}15}{263{,}15}\right).
Substituindo números:
\Delta S_1 = 0{,}01\cdot 2220 \cdot \ln\!\left(\frac{273{,}15}{263{,}15}\right)\approx 0{,}01\cdot 2220 \cdot 0{,}03728 \approx 0{,}83\\ \text{J}\,\text{K}^{-1}.
  • Etapa 2 (fusão isoterma a 273{,}15\\ \text{K}):
\Delta S_2 = \frac{m L_f}{273{,}15} = \frac{3340}{273{,}15}\approx 12{,}23\\ \text{J}\,\text{K}^{-1}.
  • Etapa 3 (aquecimento da água de 273{,}15\\ \text{K} a 288{,}15\\ \text{K}):
\Delta S_3 = m\,c_{água}\,\ln\!\left(\frac{288{,}15}{273{,}15}\right).á
Substituindo:
\Delta S_3 = 0{,}01\cdot 4186 \cdot \ln\!\left(\frac{288{,}15}{273{,}15}\right)\approx 0{,}01\cdot 4186 \cdot 0{,}05341 \approx 2{,}24\\ \text{J}\,\text{K}^{-1}.
  • Soma das três contribuições (variação total de entropia do cubo ao ir de -10^\circ\text{C} até 15^\circ\text{C}):
\Delta S_{cubo}=\Delta S_1+\Delta S_2+\Delta S_3 \approx 0{,}83+12{,}23+2{,}24 = 15{,}30\\ \text{J}\,\text{K}^{-1}.
(Arredondei para duas casas decimais quando fez sentido; mantenho a unidade \text{J}\,\text{K}^{-1}.)

Passo 6

Calcular a variação de entropia do lago (reservatório) assumindo temperatura constante.
Para um reservatório a \,T_{lago}=288{,}15\\ \text{K} que cede um calor Q_{lago}, a variação de entropia é
\Delta S_{lago}=\frac{Q_{lago}}{T_{lago}}=\frac{-4189{,}9}{288{,}15}\approx -14{,}55\\ \text{J}\,\text{K}^{-1}.

Passo 7

Calcular a variação total de entropia do sistema (cubo + lago) e interpretar.
\Delta S_{total}=\Delta S_{cubo}+\Delta S_{lago}\approx 15{,}30 + (-14{,}55) = 0{,}75\\ \text{J}\,\text{K}^{-1}.
Interpretação rápida e motivadora: o total é positivo ( \Delta S_{total}>0), o que está de acordo com a segunda lei da termodinâmica — o processo espontâneo (gelo derretendo em lago mais quente) aumenta a entropia do universo. Isso também mostra que, embora o lago perca entropia, o ganho de entropia do gelo (principalmente pela fusão) é maior.

Resposta

(a) \Delta S_{cubo}\approx 15{,}30\\ \text{J}\,\text{K}^{-1}
(b) \Delta S_{lago}\approx -14{,}55\\ \text{J}\,\text{K}^{-1}
(c) \Delta S_{total}\approx 0{,}75\\ \text{J}\,\text{K}^{-1}

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