En 2 Em um experimento, 200 g de alumínio (calor específico 900 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} \cdot \mathrm{K} ) a 100^{\circ} \mathrm{C} são misturados com 50 g de água a 20^{\circ} \mathrm{C}, sendo a mistura isolada termicamente. (a) Calcule a temperatura de equilíbrio. Calcule a variação de entropia: (a) do alumínio; (b) da água; (c) do sistema água+alumínio.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Determinar a temperatura de equilíbrio da mistura entre alumínio e água numa mistura termicamente isolada.
  • Calcular as variações de entropia: (a) do alumínio; (b) da água; (c) do sistema água+alumínio.
Informações fornecidas (peguei estes valores do enunciado):
  • Massa do alumínio: m_{\text{Al}} = 200\\ \mathrm{g}.
  • Calor específico do alumínio: c_{\text{Al}} = 900\\ \mathrm{J}/\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K}.
  • Temperatura inicial do alumínio: T_{\text{Al,i}} = 100^\circ\mathrm{C}.
  • Massa da água: m_{\text{água}} = 50\\ \mathrm{g}á.
  • Temperatura inicial da água: T_{\text{água,i}} = 20^\circ\mathrm{C}á.
  • A mistura é termicamente isolada (não há trocas de calor com o ambiente).
O que será necessário usar:
  • Converter massas para quilogramas e temperaturas para kelvin quando for calcular entropias.
  • Usar conservação de energia (calor perdido por um = calor ganho pelo outro) para encontrar a temperatura de equilíbrio.
  • Usar a expressão para variação de entropia de uma substância com calor específico constante:
\Delta S = \int_{T_i}^{T_f} \frac{m\,c}{T}\,dT = m\,c\,\ln\!\left(\frac{T_f}{T_i}\right).

Passo 2

Conversões e constantes que vou usar (esclarecendo o que estou assumindo):
  • Converter massas:
m_{\text{Al}} = 200\\ \mathrm{g} = 0,2\\ \mathrm{kg},\qquad m_{\text{água}} = 50\\ \mathrm{g} = 0,05\\ \mathrm{kg}.á
  • Converter temperaturas para kelvin quando necessário:
T_{\text{Al,i}} = 100^\circ\mathrm{C} = 373{,}15\\ \mathrm{K},\qquad T_{\text{água,i}} = 20^\circ\mathrm{C} = 293{,}15\\ \mathrm{K}.á
  • Calor específico da água: vou usar o valor padrão
c_{\text{água}} = 4186\\ \mathrm{J}/\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K}.á
  • Pressupostos importantes:
    • Os calores específicos são constantes no intervalo de temperaturas considerado.
    • Não há mudança de fase.
    • Sistema isolado ⇒ energia interna total conservada.

Passo 3

Equação de conservação de energia para encontrar a temperatura de equilíbrio T_f.
O calor perdido pelo alumínio ao resfriar de T_{\text{Al,i}} até T_f é igual ao calor ganho pela água ao aquecer de T_{\text{água,i}}á até T_f:
m_{\text{Al}}\,c_{\text{Al}}\,(T_{\text{Al,i}}-T_f)=m_{\text{água}}\,c_{\text{água}}\,(T_f-T_{\text{água,i}}).ááá
Isolando T_f (vai dar uma equação linear em T_f).

Passo 4

Resolver a equação para T_f. Substituindo os números:
(0,2)(900)(100 - T_f) = (0,05)(4186)(T_f - 20).
Calcular capacidades térmicas:
0,2\cdot900 = 180\\ \mathrm{J/K},\qquad 0,05\cdot4186 = 209{,}3\\ \mathrm{J/K}.
Então:
180(100 - T_f)=209{,}3(T_f-20).
Expandindo:
18000 - 180\,T_f = 209{,}3\,T_f - 4186.
Rearranjando para T_f:
18000 + 4186 = 209{,}3\,T_f + 180\,T_f
22186 = 389{,}3\,T_f
T_f = \frac{22186}{389{,}3}\\ \,^\circ\mathrm{C}.

Passo 5

Cálculo numérico de T_f:
T_f \approx 56{,}99^\circ\mathrm{C}.
Em kelvin (para usar nas fórmulas de entropia):
T_f = 56{,}99^\circ\mathrm{C} = 330{,}14\\ \mathrm{K}.
(Commentário curto e amigável: dá um alivio ver que a temperatura final fica entre 20^\circ\mathrm{C} e 100^\circ\mathrm{C}, como deveria.)

Passo 6

Fórmula da variação de entropia usada e observação sobre unidades:
Para calor específico constante,
\Delta S = m\,c\,\ln\!\left(\frac{T_f}{T_i}\right),
onde T está em kelvin. Vou aplicar isso separadamente para o alumínio e para a água.

Passo 7

Variação de entropia do alumínio:
Substituindo m_{\text{Al}}=0,2\\ \mathrm{kg}, c_{\text{Al}}=900\\ \mathrm{J}/\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K}, T_{\text{Al,i}}=373{,}15\\ \mathrm{K} e T_f=330{,}14\\ \mathrm{K}:
\Delta S_{\text{Al}} = 0,2\cdot900\cdot\ln\!\left(\frac{330{,}14}{373{,}15}\right).
Calcular passo a passo:
0,2\cdot900 = 180\\ \mathrm{J/K},
\frac{330{,}14}{373{,}15}\approx 0{,}88477,\qquad \ln(0{,}88477)\approx -0{,}12242,
\Delta S_{\text{Al}} \approx 180\cdot(-0{,}12242)\approx -22{,}04\\ \mathrm{J/K}.

Passo 8

Variação de entropia da água:
Substituindo m_{\text{água}}=0,05\\ \mathrm{kg}á, c_{\text{água}}=4186\\ \mathrm{J}/\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K}á, T_{\text{água,i}}=293{,}15\\ \mathrm{K}á e T_f=330{,}14\\ \mathrm{K}:
\Delta S_{\text{água}} = 0,05\cdot4186\cdot\ln\!\left(\frac{330{,}14}{293{,}15}\right).á
Calcular passo a passo:
0,05\cdot4186 = 209{,}3\\ \mathrm{J/K},
\frac{330{,}14}{293{,}15}\approx 1{,}12646,\qquad \ln(1{,}12646)\approx 0{,}11922,
\Delta S_{\text{água}} \approx 209{,}3\cdot0{,}11922\approx 24{,}95\\ \mathrm{J/K}.á

Passo 9

Variação total de entropia do sistema (água + alumínio):
\Delta S_{\text{sistema}} = \Delta S_{\text{Al}} + \Delta S_{\text{água}} \approx -22{,}04 + 24{,}95 = 2{,}91\\ \mathrm{J/K}.á
Interpretação rápida: a entropia total aumentou (positivo), consistente com a segunda lei para um processo irreversível espontâneo de troca de calor entre corpos inicialmente a temperaturas diferentes.

Resposta

T_{\text{eq}} = 56{,}99^\circ\mathrm{C}
\Delta S_{\text{Al}} = -22{,}04\\ \mathrm{J/K}
\Delta S_{\text{água}} = 24{,}95\\ \mathrm{J/K}á
\Delta S_{\text{sistema}} = 2{,}91\\ \mathrm{J/K}

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