• '১৮ suponna que 1, \mathrm{UU} \mathrm{L} de um gas com \gamma=1,3 \mathrm{U}, inicialmente a 2 / 3 \mathrm{~K} e 1, \mathrm{UU} \mathrm{amm} ,\mathrm{e} \mathrm{comprımıco} adiabaticamente, de forma brusca, para metade do volume inicial. Determine (a) a pressão final e (b) a temperatura final. (c) Se, em seguida, o gás é resfriado para 273 K a pressão constante, qual é o volume final?

Passo 1

O enunciado (peguei os dados do texto) fornece e pede o seguinte:
  • Dados:
    • quantidade de gás: n=1 mol;
    • razão adiabática: \gamma=1{,}3;
    • estado inicial: T_i=273\\ \text{K} e P_i=1{,}00\\ \text{atm};
    • o gás é comprimido adiabaticamente até a metade do volume inicial, ou seja V_f^{(\text{adi})}=\tfrac{1}{2}V_i.
  • Perguntas:
    (a) determinar a pressão final imediatamente após a compressão adiabática ( P_f);
    (b) determinar a temperatura final imediatamente após a compressão adiabática ( T_f);
    (c) em seguida o gás é resfriado à pressão constante até 273\\ \text{K}: qual é o volume final nessa etapa ( V_{\text{final}})?

Passo 2

Principais relações físicas e o que cada símbolo significa (aula rapidinha e prática):
  • Para um gás ideal em um processo adiabático reversível vale a relação
P V^{\gamma}=\text{constante},
onde P é a pressão, V o volume e \gamma a razão dos calores específicos C_P/C_V.
  • Usando a equação de estado do gás ideal P V = n R T e a relação acima obtém-se outra forma útil:
T V^{\gamma-1}=\text{constante}.
Isso quer dizer que, entre dois estados adiabáticos i e f,
T_i V_i^{\gamma-1}=T_f V_f^{\gamma-1}.
  • Essas duas fórmulas permitem calcular P_f e T_f conhecendo a razão V_i/V_f. Na etapa de resfriamento a pressão é mantida constante, então vale a lei dos gases ideais na forma V/T= constante (para n fixo e P fixo):
\frac{V_1}{T_1}=\frac{V_2}{T_2}.

Passo 3

Cálculo da temperatura final após a compressão adiabática.
  • Da relação T_i V_i^{\gamma-1}=T_f V_f^{\gamma-1} isolamos T_f:
T_f = T_i\left(\frac{V_i}{V_f}\right)^{\gamma-1}.
  • Aqui V_i/V_f=2 (porque comprimiram para metade). Substituindo T_i=273\\ \text{K} e \gamma-1=0{,}3:
T_f = 273\cdot 2^{0{,}3}.
  • Agora calculamos 2^{0{,}3}. Usando a relação 2^{0{,}3}=e^{0{,}3\ln 2} e \ln 2\approx0{,}693147, obtemos aproximadamente 2^{0{,}3}\approx1{,}23105. Portanto
T_f \approx 273\cdot 1{,}23105 \approx 336{,}2\\ \text{K}.

Passo 4

Cálculo da pressão final após a compressão adiabática.
  • Da relação P_i V_i^{\gamma}=P_f V_f^{\gamma} isolamos P_f:
P_f = P_i\left(\frac{V_i}{V_f}\right)^{\gamma}.
  • Com \dfrac{V_i}{V_f}=2 e \gamma=1{,}3:
P_f = 1{,}00\\ \text{atm}\cdot 2^{1{,}3}.
  • Note que 2^{1{,}3}=2\cdot 2^{0{,}3} e já calculamos 2^{0{,}3}\approx1{,}23105, então 2^{1{,}3}\approx2{,}46210. Assim
P_f \approx 2{,}462\\ \text{atm}.

Passo 5

Cálculo do volume final após o resfriamento à pressão constante até 273\\ \text{K}.
  • Logo após a compressão adiabática o volume é V_{\text{adi}}=V_i/2 e a temperatura nesse ponto é T_{\text{adi}}=T_f\approx336{,}2\\ \text{K}.
  • No resfriamento a pressão é mantida igual a P_f, então pela lei dos gases ideais (proporção V\propto T a P constante):
\frac{V_{\text{final}}}{T_{\text{final}}}=\frac{V_{\text{adi}}}{T_{\text{adi}}}.
Aqui T_{\text{final}}=273\\ \text{K}. Então
V_{\text{final}}=V_{\text{adi}}\cdot\frac{273}{T_{\text{adi}}}=\frac{V_i}{2}\cdot\frac{273}{336{,}2}.
  • Calculando a fração \dfrac{273}{336{,}2}\approx0{,}8120; multiplicando por 1/2 \approx0{,}4060. Assim
V_{\text{final}}\approx 0{,}4060\,V_i.
  • Se quiser um valor numérico em litros, pode-se usar o volume molar inicial em P_i=1{,}00\\ \text{atm} e T_i=273\\ \text{K}:
V_i=\frac{nRT_i}{P_i} = 1\cdot 0{,}082057\frac{\text{L}\cdot\text{atm}}{\text{mol}\cdot\text{K}}\cdot 273 \approx 22{,}414\\ \text{L}.
Então
V_{\text{final}}\approx 0{,}4060\cdot 22{,}414\\ \text{L}\approx 9{,}10\\ \text{L}.

Passo 6

Breve verificação e interpretação (pra te dar confiança):
  • A temperatura subiu (de 273 para 336{,}2\\ \text{K}) porque a compressão adiabática aumenta a energia interna do gás — sem troca de calor, a compressão aquece o gás.
  • A pressão também aumentou para cerca de 2{,}46\\ \text{atm}, compatível com compressão significativa.
  • Depois de resfriar de volta a 273\\ \text{K} à pressão elevada, o volume final fica menor que o inicial porque a pressão final é maior que a inicial; numericamente deu cerca de 0{,}406\,V_i ou 9{,}10\\ \text{L} se partir do V_i em STP.

Resposta

(a) P_f \approx 2{,}46\\ \text{atm}
(b) T_f \approx 336{,}2\\ \text{K}
(c) V_{\text{final}} \approx 0{,}406\,V_i \approx 9{,}10\\ \text{L}

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