- '১৮ suponna que
de um gas com
, inicialmente a
e
adiabaticamente, de forma brusca, para metade do volume inicial. Determine (a) a pressão final e (b) a temperatura final. (c) Se, em seguida, o gás é resfriado para 273 K a pressão constante, qual é o volume final?
Passo 1
O enunciado (peguei os dados do texto) fornece e pede o seguinte:
- Dados:
- quantidade de gás:
mol; - razão adiabática:
; - estado inicial:
e ; - o gás é comprimido adiabaticamente até a metade do volume inicial, ou seja
.
- quantidade de gás:
- Perguntas:
(a) determinar a pressão final imediatamente após a compressão adiabática ();
(b) determinar a temperatura final imediatamente após a compressão adiabática ();
(c) em seguida o gás é resfriado à pressão constante até: qual é o volume final nessa etapa ( )?
Passo 2
Principais relações físicas e o que cada símbolo significa (aula rapidinha e prática):
- Para um gás ideal em um processo adiabático reversível vale a relação
onde
é a pressão,
o volume e
a razão dos calores específicos
.
- Usando a equação de estado do gás ideal
e a relação acima obtém-se outra forma útil:
Isso quer dizer que, entre dois estados adiabáticos
e
,
- Essas duas fórmulas permitem calcular
e conhecendo a razão . Na etapa de resfriamento a pressão é mantida constante, então vale a lei dos gases ideais na forma constante (para fixo e fixo):
Passo 3
Cálculo da temperatura final após a compressão adiabática.
- Da relação
isolamos :
- Aqui
(porque comprimiram para metade). Substituindo e :
- Agora calculamos
. Usando a relação e , obtemos aproximadamente . Portanto
Passo 4
Cálculo da pressão final após a compressão adiabática.
- Da relação
isolamos :
- Com
e :
- Note que
e já calculamos , então . Assim
Passo 5
Cálculo do volume final após o resfriamento à pressão constante até
.
- Logo após a compressão adiabática o volume é
e a temperatura nesse ponto é . - No resfriamento a pressão é mantida igual a
, então pela lei dos gases ideais (proporção a constante):
Aqui
. Então
- Calculando a fração
; multiplicando por dá . Assim
- Se quiser um valor numérico em litros, pode-se usar o volume molar inicial em
e :
Então
Passo 6
Breve verificação e interpretação (pra te dar confiança):
- A temperatura subiu (de
para ) porque a compressão adiabática aumenta a energia interna do gás — sem troca de calor, a compressão aquece o gás. - A pressão também aumentou para cerca de
, compatível com compressão significativa. - Depois de resfriar de volta a
à pressão elevada, o volume final fica menor que o inicial porque a pressão final é maior que a inicial; numericamente deu cerca de ou se partir do em STP.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)