Um cubo de massa m repousa sobre um plano inclinado rugoso, o qual forma um ângulo \theta com a horizontal. O coeficiente de atrito estático entre o cubo e o plano é \mu_{\mathrm{e}}.
Determine o valor da força mínima paralela ao plano inclinado necessária para iniciar o movimento do cubo para baixo do plano.

Passo 1

O enunciado nos diz que um cubo de massa m está em repouso sobre um plano inclinado com ângulo \theta e coeficiente de atrito estático \mu_{\mathrm{e}}. Queremos achar a menor força F, aplicada paralela ao plano e dirigida para baixo, capaz de vencer o atrito e iniciar o movimento descendente. Para isso vamos usar as leis de Newton no movimento limite e a expressão da força de atrito estático máxima.

Passo 2

Desenhando o diagrama de corpo livre ao longo do plano, temos:
  1. Componente do peso paralela ao plano: \,mg\sin\theta, dirigida para baixo.
  2. Força aplicada F, dirigida para baixo.
  3. Força de atrito estático máxima, que se opõe ao movimento (isto é, para cima), de valor
f_{\mathrm{s,max}}=\mu_{\mathrm{e}}\,N
onde a normal é
N=mg\cos\theta.

Passo 3

Para que o bloco esteja no limiar do movimento para baixo, a soma das forças descendentes deve igualar a força de atrito máxima ascendente:
mg\sin\theta + F = \mu_{\mathrm{e}}\,mg\cos\theta.

Passo 4

Isolando F na equação anterior, obtemos
F = \mu_{\mathrm{e}}\,mg\cos\theta \;-\; mg\sin\theta
ou seja
F = mg\bigl(\mu_{\mathrm{e}}\cos\theta - \sin\theta\bigr).

Passo 5

Se o termo \mu_{\mathrm{e}}\cos\theta - \sin\theta for negativo ou nulo, significa que mg\sin\theta\ge\mu_{\mathrm{e}}\,mg\cos\theta (o bloco já desliza espontaneamente ou está no limite sem precisar de F). Nesse caso a força mínima necessária é zero.

Resposta

F_{\min} = \begin{cases} \,mg\bigl(\mu_{\mathrm{e}}\cos\theta - \sin\theta\bigr), & \text{se }\mu_{\mathrm{e}}\cos\theta>\sin\theta,\\\ \,0, & \text{caso contrário.} \end{cases}á

Exercícios relacionados