Um cubo de massa m repousa sobre um plano inclinado rugoso, o qual forma um ângulo \theta com a horizontal. O coeficiente de atrito estático entre o cubo e o plano é \mu_{\mathrm{e}}.
Determine o valor da força mínima paralela ao plano inclinado necessária para iniciar o movimento do cubo para cima do plano.

Passo 1

O enunciado diz que um bloco de massa m está em repouso sobre um plano inclinado com ângulo \theta. O coeficiente de atrito estático entre bloco e plano é \mu_{\mathrm{e}}. Queremos a menor força F, aplicada paralelamente ao plano e apontando para cima, capaz de vencer tanto a componente da gravidade quanto o atrito estático e iniciar o movimento para cima.

Passo 2

Desenhamos o diagrama de corpo livre do bloco. Sobre ele atuam:
  • o peso m g, cuja componente ao longo do plano é m g\sin\theta para baixo,
  • a normal N=m g\cos\theta perpendicular ao plano,
  • a força aplicada F para cima ao longo do plano,
  • a força de atrito estático f_s, que se ajusta para impedir o deslizamento, com \lvert f_s\rvert\le\mu_{\mathrm{e}}N.

Passo 3

Enquanto F aumenta a partir de zero, o atrito estático inicialmente equilibra a componente de peso:
f_s = m g\sin\theta\quad(\text{até }F=m g\sin\theta).é
Para F>m g\sin\theta, o bloco tenderia a subir e o atrito inverte seu sentido, passando a atuar para baixo, até atingir seu valor máximo \mu_{\mathrm{e}}N.

Passo 4

No instante em que o bloco está prestes a deslizar para cima, temos equilíbrio limite:
F - m g\sin\theta - f_s = 0
com
f_s = \mu_{\mathrm{e}}N = \mu_{\mathrm{e}}\,m g\cos\theta.
Substituindo em equilíbrio:
F = m g\sin\theta + \mu_{\mathrm{e}}\,m g\cos\theta.

Resposta

F_{\min}=m g\bigl(\sin\theta+\mu_{\mathrm{e}}\cos\theta\bigr).

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