Um cubo muito pequeno de massa m é colocado dentro de um funil que gira em volta de um eixo vertical à taxa constante de f revoluções por segundo. A parede do funil forma um ângulo theta com a horizontal. O coeficiente de atrito estático entre o cubo e o funil é mue e o centro do cubo está à distância r do eixo de rotação. Encontre
(b) o menor valor de f para o qual o cubo não se moverá em relação ao funil.

Passo 1

Beleza, aqui vai um resumão do que o exercício pede:
• Enunciado resumido: um cubinho de massa está preso a um funil que gira em torno do eixo vertical com frequência (revoluções por segundo). A parede do funil faz um ângulo com a horizontal, e o coeficiente de atrito estático entre o cubo e a parede é . O cubo está a distância do eixo. Queremos achar o menor valor de para o qual o cubo não escorrega.
• Conteúdo: equilibrar forças num referencial giratório, decompor forças (peso, reação normal, força centrífuga e atrito estático) e usar a condição de limite de atrito estático .
• O que precisamos:
  1. Entender o referencial giratório e a força centrífuga .
  2. Decompor todas as forças em componentes paralelas e perpendiculares à superfície inclinada do funil.
  3. Usar a condição de equilíbrio (força resultante zero) e a condição de atrito máximo.

Passo 2

Definindo a velocidade angular omega = 2pi f, em rad/s e lembrando que
vec Frm cf=m,omega^2,r
no referencial que gira junto com o funil aparece a força centrífuga
apontando para fora, no plano horizontal. Além disso temos:
  • O peso para baixo.
  • A reação normal perpendicular à parede do funil.
  • A força de atrito estático tangencial à parede, que impede deslizamento.

Passo 3

Vamos decompor tudo em dois eixos:
  1. Eixo perpendicular à superfície (para achar N = m,gcostheta + m,omega^2 r,sintheta ).
  2. Eixo paralelo à superfície (para o equilíbrio de atrito).
Ângulo da superfície com a horizontal é , então:
  • Componente do peso perpendicular à parede: .
  • Componente do peso paralela (tendência a escorregar para baixo): .
  • Componente da força centrífuga perpendicular: .
  • Componente da centrífuga paralela (tendência a “subir” a parede): .
No equilíbrio perpendicular, a soma das componentes “empurrando” a parede é igual a :

Passo 4

No equilíbrio paralelo à parede, temos duas forças competindo:
  1. Componente do peso descendo a parede, Frm at = mue,N .
  2. Componente centrífuga subindo a parede, underbracem,gsinthetadesce ;-;underbracem,omega^2 rcosthetasobe ;=; underbracemue,Natrito máximo .
    Para o cubo não se mover, a força de atrito estático deve anular essa diferença.
    Como estamos buscando o menor , o atrito estará no limite máximo:
E a condição de equilíbrio (paralelo à parede) é
á

Passo 5

Agora substituímos m,gsintheta - m,omega^2 rcostheta = muel(m,gcostheta + m,omega^2 rsinthetar) e resolvemos para gsintheta - omega^2 rcostheta = mue,gcostheta + mue,omega^2 rsintheta, :
g(sintheta - muecostheta) = omega^2 r(costheta + muesintheta),
Divide por omega^2 = g(sintheta - muecostheta)r(costheta + muesintheta) e isola os termos com (2pi f)^2 = g(sintheta - muecostheta)r(costheta + muesintheta), :
f = 12piraizg(sintheta - muecostheta)r(costheta + muesintheta)
Lembrando que , temos

Resposta

O menor valor de boxed,fmin = 12pi,raizgl(sintheta - muecosthetar)rl(costheta + muesinthetar), para o cubo não escorregar é

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