Um cubo muito pequeno de massa é colocado dentro de um funil que gira em volta de um eixo vertical à taxa constante de revoluções por segundo. A parede do funil forma um ângulo com a horizontal. O coeficiente de atrito estático entre o cubo e o funil é e o centro do cubo está à distância do eixo de rotação. Encontre
(b) o menor valor de para o qual o cubo não se moverá em relação ao funil.
Passo 1
Beleza, aqui vai um resumão do que o exercício pede:
• Enunciado resumido: um cubinho de massa está preso a um funil que gira em torno do eixo vertical com frequência (revoluções por segundo). A parede do funil faz um ângulo com a horizontal, e o coeficiente de atrito estático entre o cubo e a parede é . O cubo está a distância do eixo. Queremos achar o menor valor de para o qual o cubo não escorrega.
• Conteúdo: equilibrar forças num referencial giratório, decompor forças (peso, reação normal, força centrífuga e atrito estático) e usar a condição de limite de atrito estático .
• O que precisamos:
Entender o referencial giratório e a força centrífuga .
Decompor todas as forças em componentes paralelas e perpendiculares à superfície inclinada do funil.
Usar a condição de equilíbrio (força resultante zero) e a condição de atrito máximo.
Passo 2
Definindo a velocidade angular em rad/s e lembrando que
no referencial que gira junto com o funil aparece a força centrífuga
apontando para fora, no plano horizontal. Além disso temos:
O peso para baixo.
A reação normal perpendicular à parede do funil.
A força de atrito estático tangencial à parede, que impede deslizamento.
Passo 3
Vamos decompor tudo em dois eixos:
Eixo perpendicular à superfície (para achar ).
Eixo paralelo à superfície (para o equilíbrio de atrito).
Ângulo da superfície com a horizontal é , então:
Componente do peso perpendicular à parede: .
Componente do peso paralela (tendência a escorregar para baixo): .
Componente da força centrífuga perpendicular: .
Componente da centrífuga paralela (tendência a “subir” a parede): .
No equilíbrio perpendicular, a soma das componentes “empurrando” a parede é igual a :
Passo 4
No equilíbrio paralelo à parede, temos duas forças competindo:
Componente do peso descendo a parede, .
Componente centrífuga subindo a parede, .
Para o cubo não se mover, a força de atrito estático deve anular essa diferença.
Como estamos buscando o menor , o atrito estará no limite máximo: