Um cubo tem volume próprio de
. Determine o volume para um observador que se move com velocidade igual a
em relação ao cubo, em uma direção paralela a uma das arestas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um cubo com volume próprio de
. Queremos descobrir qual é o volume desse cubo para um observador que está se movendo a uma velocidade de
(onde $ c $ é a velocidade da luz) paralelamente a uma das arestas do cubo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Relatividade Especial, especificamente a contração do comprimento.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é o volume próprio. É o volume medido no referencial onde o objeto está em repouso, ou seja, para quem o cubo não está se movendo. Neste caso, esse volume é
.
Passo 3
Vamos calcular o comprimento de uma aresta do cubo no referencial próprio. Como o volume de um cubo é dado por
, temos:
Então, cada aresta do cubo mede
.
Passo 4
Agora, consideramos a relatividade do comprimento. Quando um objeto se move a uma velocidade
em relação a um observador, o comprimento na direção do movimento é contratado pela fator de Lorentz $ \gamma $, dado por:
Para
:
Passo 5
O comprimento na direção do movimento se contrai, então a nova aresta nessa direção é:
As outras duas arestas, que são perpendiculares à direção do movimento, não sofrem contração. Portanto, elas continuam com
cada.
Passo 6
Agora, vamos calcular o novo volume do cubo para o observador em movimento. Como apenas uma aresta foi contraída, o volume é:
Resposta
O volume do cubo para o observador que se move a
é
.