Um cubo tem volume próprio de 1000 cm^3. Determine o volume para um observador que se move com velocidade igual a 0,8 c em relação ao cubo, em uma direção paralela a uma das arestas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um cubo com volume próprio de 1000 , cm^3. Queremos descobrir qual é o volume desse cubo para um observador que está se movendo a uma velocidade de 0,8 , c (onde $ c $ é a velocidade da luz) paralelamente a uma das arestas do cubo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Relatividade Especial, especificamente a contração do comprimento.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é o volume próprio. É o volume medido no referencial onde o objeto está em repouso, ou seja, para quem o cubo não está se movendo. Neste caso, esse volume é 1000 , cm^3.

Passo 3

Vamos calcular o comprimento de uma aresta do cubo no referencial próprio. Como o volume de um cubo é dado por V = L^3, temos:
L = raiz[3]V = raiz[3]1000 = 10 , cm
Então, cada aresta do cubo mede 10 , cm.

Passo 4

Agora, consideramos a relatividade do comprimento. Quando um objeto se move a uma velocidade v em relação a um observador, o comprimento na direção do movimento é contratado pela fator de Lorentz $ \gamma $, dado por:
gamma
Para gamma = 1raiz1 - (vc)^2 :
v = 0,8 , c

Passo 5

O comprimento na direção do movimento se contrai, então a nova aresta nessa direção é:
L' = Lgamma = 10 , cm53 = 10 times 35 = 6 , cm
As outras duas arestas, que são perpendiculares à direção do movimento, não sofrem contração. Portanto, elas continuam com 10 , cm cada.

Passo 6

Agora, vamos calcular o novo volume do cubo para o observador em movimento. Como apenas uma aresta foi contraída, o volume é:
V' = L' times L times L = 6 , cm times 10 , cm times 10 , cm = 600 , cm^3

Resposta

O volume do cubo para o observador que se move a 0,8 , c é 600 , cm^3.

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