Um nêutron tem vida-média de 900 s . Qual é a velocidade relativa que um observador mede sua vida-média como sendo 2065 s ?

Passo 1

Resumo do Enunciado:
Estamos lidando com a vida média de um nêutron, que é de 900 segundos. Um observador mede essa vida média como sendo 2065 segundos.
Conteúdo da Matéria: Física Relativística, mais especificamente a dilatação do tempo.
O que vamos precisar para resolver:
  • Compreender a relação entre o tempo no referencial próprio e no referencial em movimento.
  • Utilizar a fórmula da dilatação do tempo para encontrar a velocidade relativa.

Passo 2

Entendendo a Dilatação do Tempo:
Na Teoria da Relatividade Especial de Einstein, o tempo medido por um observador em movimento relativo a um evento pode ser diferente do tempo medido por um observador no mesmo referencial do evento. Essa diferença é chamada de dilatação do tempo.
A fórmula que relaciona esses tempos é:
t = gamma cdot t0
onde:
- $ t $ é o tempo medido pelo observador em movimento.
- $ t_0 $ é o tempo próprio (tempo medido no referencial onde o evento ocorre sem movimento relativo).
- $ \gamma $ é o fator de Lorentz, dado por:
t
com $ v $ sendo a velocidade relativa e $ c $ a velocidade da luz.

Passo 3

Identificando os Valores Conhecidos:
  • Tempo próprio $ t_0 = 900 , s $
  • Tempo observado $ t = 2065 , s $
Queremos encontrar a velocidade $ v $.

Passo 4

Calculando o Fator de Lorentz ($ \gamma $):
Usando a fórmula da dilatação do tempo:
gamma
Isolando $ \gamma $:
t = gamma cdot t0

Passo 5

Relacionando $ \gamma $ com a Velocidade ($ v $):
Sabemos que:
gamma
Isolando $ \frac{v2}{c2} $:
v
Elevando ambos os lados ao quadrado:
gamma = 1raiz1 - v^2c^2
v^2c^2
raiz1 - v^2c^2 = 1gamma

Passo 6

Calculando a Velocidade $ v $:
Substituindo $ \gamma \approx 2.294 $ na fórmula:
v
gamma approx 2.294
v = c cdot raiz1 - ( 12.294 )^2
v = c cdot raiz1 - 0.1897

Resposta

A velocidade relativa que o observador mede é aproximadamente $ 0.9002,c $, ou seja, 90,02% da velocidade da luz.

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