Use o teorema de Stokes para calcular integralC F cdot d r, onde F(x, y, z)=x y imath+y z jmath+z x k e+C é o triângulo com vértices (1,0,0),(0,1,0) e (0,0,1), orientado no sentido horário, quando visto de cima.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui! A questão pede para a gente calcular a integral de linha integralC F cdot d r, onde o campo vetorial F(x, y, z) = x y imath + y z jmath + z x k. O caminho C é um triângulo formado pelos pontos (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1), e está orientado no sentido horário quando olhamos de cima.
Pra resolver isso, vamos usar o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de linha de um campo vetorial ao redor de uma curva aberta com a integral de superfície do rotacional desse campo sobre uma superfície que tem C como fronteira. Então, vamos precisar saber como calcular o rotacional de F, parametrizar a superfície e fazer essa integral.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular o rotacional do campo vetorial F, que é denotado por nabla times F. O rotacional nos dá uma medida de quanto o campo “gira” ao redor de cada ponto.
A fórmula do rotacional em coordenadas cartesianas é:
nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z ) imath - ( partial Fzpartial x - partial Fxpartial z ) jmath + ( partial Fypartial x - partial Fxpartial y ) k
Vamos calcular cada componente:
  • partial Fzpartial y = partial (z x)partial y = 0 (porque não tem y na expressão)
  • partial Fypartial z = partial (y z)partial z = y
  • partial Fzpartial x = partial (z x)partial x = z
  • partial Fxpartial z = partial (x y)partial z = 0
  • partial Fypartial x = partial (y z)partial x = 0
  • partial Fxpartial y = partial (x y)partial y = x
Substituindo na fórmula:
nabla times F = (0 - y) imath - (z - 0) jmath + (0 - x) k = -y imath - z jmath - x k
Então, o rotacional de F é nabla times F = (-y, -z, -x).

Passo 3

Agora que temos o rotacional, vamos parametrizar a superfície S que o triângulo C delimita. Olhando os pontos (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1), percebemos que eles estão no plano x + y + z = 1.
Uma maneira de parametrizar essa superfície é usando duas variáveis, digamos x e y, e expressando z em função delas através da equação do plano:
z = 1 - x - y
Então, nossa parametrização fica:
r(x, y) = (x, y, 1 - x - y)
Os limites para x e y vão de 0 a 1 de maneira que x + y <= 1, formando o triângulo.

Passo 4

Precisamos agora calcular o produto escalar do rotacional nabla times F com o vetor normal à superfície S, multiplicado pelo elemento de área dS.
Primeiro, encontramos as derivadas parciais da parametrização:
rx = partial rpartial x = (1, 0, -1)
ry = partial rpartial y = (0, 1, -1)
O vetor normal é o produto vetorial desses dois vetores:
n = rx times ry = imath & jmath & k 1 & 0 & -1 0 & 1 & -1 = (1)(-1) - (-1)(1) imath - (1)(-1) - (-1)(0) jmath + (1)(1) - (0)(0) k = (-1 +1) imath - (-1 +0) jmath + (1 -0) k = 0 imath + 1 jmath + 1 k
Então, n = (0, 1, 1).
Agora, calculamos o produto escalar (nabla times F) cdot n:
(-y, -z, -x) cdot (0, 1, 1) = (-y)(0) + (-z)(1) + (-x)(1) = -z - x
Mas lembrando que z = 1 - x - y, então:
- (1 - x - y) - x = -1 + x + y - x = -1 + y

Passo 5

Agora, vamos montar a integral de superfície:
integralS (nabla times F) cdot n , dS = integral0^1 integral0^1 - x (-1 + y) , dy , dx
Vamos integrar primeiro em relação a y:
integral0^1 - x (-1 + y) , dy = [ -y + y^22 ]0^1 - x = - (1 - x) + (1 - x)^22
Simplificando:
- (1 - x) + (1 - 2x + x^2)2 = -1 + x + 12 - x + x^22 = -12 + x^22
Agora, integramos em relação a x:
integral0^1 ( -12 + x^22 ) dx = -12 integral0^1 dx + 12 integral0^1 x^2 dx = -12 [x]0^1 + 12 [ x^33 ]0^1 = -12 (1 - 0) + 12 ( 13 - 0 ) = -12 + 16 = -13

Resposta

Portanto, o valor da integral integralC F cdot d r é -13.

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