Use o teorema de Stokes para calcular , onde é o triângulo com vértices e , orientado no sentido horário, quando visto de cima.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui! A questão pede para a gente calcular a integral de linha , onde o campo vetorial . O caminho é um triângulo formado pelos pontos , e , e está orientado no sentido horário quando olhamos de cima.
Pra resolver isso, vamos usar o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de linha de um campo vetorial ao redor de uma curva aberta com a integral de superfície do rotacional desse campo sobre uma superfície que tem como fronteira. Então, vamos precisar saber como calcular o rotacional de , parametrizar a superfície e fazer essa integral.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular o rotacional do campo vetorial , que é denotado por . O rotacional nos dá uma medida de quanto o campo “gira” ao redor de cada ponto.
A fórmula do rotacional em coordenadas cartesianas é:
Vamos calcular cada componente:
(porque não tem na expressão)
Substituindo na fórmula:
Então, o rotacional de é .
Passo 3
Agora que temos o rotacional, vamos parametrizar a superfície que o triângulo delimita. Olhando os pontos , e , percebemos que eles estão no plano .
Uma maneira de parametrizar essa superfície é usando duas variáveis, digamos e , e expressando em função delas através da equação do plano:
Então, nossa parametrização fica:
Os limites para e vão de a de maneira que , formando o triângulo.
Passo 4
Precisamos agora calcular o produto escalar do rotacional com o vetor normal à superfície , multiplicado pelo elemento de área .
Primeiro, encontramos as derivadas parciais da parametrização:
O vetor normal é o produto vetorial desses dois vetores:
Então, n = (0, 1, 1).
Agora, calculamos o produto escalar (nabla times F) cdot n: