Cuestä- 19
\begin{aligned} z= & (2 x+3 y)^{10} \quad \mu=2 x+3 y \\\ z= & {[\mu(x, y)]^{10} } \\\ & \frac{\partial z}{\partial x}=10 \mu^{9} \cdot \frac{\partial \mu}{\partial x} \quad \frac{\partial z}{\partial y}=10 \mu^{9} \cdot \frac{\partial \mu}{\partial y} \end{aligned}
\begin{array}{r} \frac{\partial \mu}{\partial x}=2 \quad \frac{\partial \mu}{\partial y}=3 \\\ z_{x}=\frac{\partial z}{\partial x}=20(2 x+3 y)^{9} \\\ z_{y}=\frac{\partial z}{\partial y}=30(2 x+3 y)^{9} \end{array}

Passo 1

O enunciado dá a função z definida por
z=(2x+3y)^{10},
e introduce a notação \mu=2x+3y. As perguntas claras são: calcular as derivadas parciais \dfrac{\partial z}{\partial x} e \dfrac{\partial z}{\partial y}. Informações relevantes fornecidas: a expressão explícita de z em termos de x e y e a definição de \mu.

Passo 2

Antes de mexer nos símbolos, uma explicação do método que vamos usar (regra da cadeia para funções compostas): se temos uma função composta z=f(\mu(x,y)), a variação de z quando variamos x (mantendo y fixo) é dada por multiplicar a derivada da função exterior f em relação a \mu pela derivada parcial de \mu em relação a x. Em notação:
\frac{\partial z}{\partial x}=f'(\mu)\cdot\frac{\partial \mu}{\partial x}.
O mesmo vale trocando x por y:
\frac{\partial z}{\partial y}=f'(\mu)\cdot\frac{\partial \mu}{\partial y}.
Intuição simples: pense em \mu como uma “caixinha” que depende de x,y; ao mudar x primeiro mudamos \mu (isso é \partial\mu/\partial x) e essa mudança em \mu produz uma mudança em z dada por f'(\mu).

Passo 3

Aplicamos essa ideia ao nosso caso: a função exterior é f(\mu)=\mu^{10}. Precisamos do seu derivado em relação a \mu. Usando a regra do poder (power rule):
\frac{d}{d\mu}\big(\mu^{10}\big)=10\mu^{9}.
Aqui a regra do poder diz que, para qualquer expoente constante n, \dfrac{d}{d\mu}\mu^{n}=n\mu^{n-1}. No nosso caso n=10.

Passo 4

Agora calculamos as derivadas parciais de \mu. Como \mu(x,y)=2x+3y, e lembrando que ao derivar parcialmente em relação a x tratamos y como constante, temos:
\frac{\partial \mu}{\partial x}=2,
porque a derivada de 2x é 2 e a de 3y é 0 (já que y é tratado como constante).
Analogamente, derivando em relação a y (com x constante):
\frac{\partial \mu}{\partial y}=3.

Passo 5

Agora juntamos tudo para \dfrac{\partial z}{\partial x} usando a regra da cadeia:
\frac{\partial z}{\partial x}= \frac{d}{d\mu}\big(\mu^{10}\big)\cdot\frac{\partial \mu}{\partial x}=10\mu^{9}\cdot 2.
Multiplicando os números:
\frac{\partial z}{\partial x}=20\mu^{9}.
Finalmente substituímos \mu=2x+3y:
\frac{\partial z}{\partial x}=20(2x+3y)^{9}.

Passo 6

Fazemos o mesmo para \dfrac{\partial z}{\partial y}:
\frac{\partial z}{\partial y}= \frac{d}{d\mu}\big(\mu^{10}\big)\cdot\frac{\partial \mu}{\partial y}=10\mu^{9}\cdot 3,
logo
\frac{\partial z}{\partial y}=30\mu^{9}
e substituindo \mu,
\frac{\partial z}{\partial y}=30(2x+3y)^{9}.

Passo 7

Um exemplo numérico rápido para fixar a ideia: se quisermos avaliar \dfrac{\partial z}{\partial x} em (x,y)=(1,0), calculamos
\frac{\partial z}{\partial x}(1,0)=20(2\cdot1+3\cdot0)^{9}=20\cdot 2^{9}=20\cdot 512=10240.
Isso mostra como usar as fórmulas finais na prática.

Resposta

\dfrac{\partial z}{\partial x}=20(2x+3y)^{9}
\dfrac{\partial z}{\partial y}=30(2x+3y)^{9}

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