Cuestä- 19
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
e introduce a notação
. As perguntas claras são: calcular as derivadas parciais
e
. Informações relevantes fornecidas: a expressão explícita de
em termos de
e
e a definição de
.
Passo 2
Antes de mexer nos símbolos, uma explicação do método que vamos usar (regra da cadeia para funções compostas): se temos uma função composta
, a variação de
quando variamos
(mantendo
fixo) é dada por multiplicar a derivada da função exterior
em relação a
pela derivada parcial de
em relação a
. Em notação:
O mesmo vale trocando
por
:
Intuição simples: pense em
como uma “caixinha” que depende de
; ao mudar
primeiro mudamos
(isso é
) e essa mudança em
produz uma mudança em
dada por
.
Passo 3
Aplicamos essa ideia ao nosso caso: a função exterior é
. Precisamos do seu derivado em relação a
. Usando a regra do poder (power rule):
Aqui a regra do poder diz que, para qualquer expoente constante
,
. No nosso caso
.
Passo 4
Agora calculamos as derivadas parciais de
. Como
, e lembrando que ao derivar parcialmente em relação a
tratamos
como constante, temos:
porque a derivada de
é
e a de
é
(já que
é tratado como constante).
Analogamente, derivando em relação a (com
constante):
Analogamente, derivando em relação a
Passo 5
Agora juntamos tudo para
usando a regra da cadeia:
Multiplicando os números:
Finalmente substituímos
:
Passo 6
Fazemos o mesmo para
:
logo
e substituindo
,
Passo 7
Um exemplo numérico rápido para fixar a ideia: se quisermos avaliar
em
, calculamos
Isso mostra como usar as fórmulas finais na prática.