para determinar a solução geral da equação diferencial dada.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
Vou interpretar
como a derivada de quarta ordem
(é a interpretação natural quando aparecem
e
junto). Assim o problema que vamos resolver é
Dados relevantes extraídos do enunciado:
- A equação é linear de coeficientes constantes e não homogênea.
- O termo não homogêneo (forçante) é
. - Precisamos encontrar a solução geral
, que é a soma da solução geral da homogênea e de uma particular.
Passo 2
Primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada:
Para isso usamos o método clássico: suponha soluções da forma
. Substituindo obtemos a equação característica em
:
Explico: aqui
é o número complexo que aparece na hipótese
. Ao derivar,
, então os coeficientes levam à equação polinomial acima.
Passo 3
Resolvendo a característica:
Portanto
com multiplicidade
. Isso dá raízes complexas
cada uma com multiplicidade
.
Quando temos raízes complexas conjugadas
de multiplicidade
, a parte real e imaginária geram soluções
e
, multiplicadas por potências de
até
quando a raiz tem multiplicidade maior que
. Aqui
,
e multiplicidade
, então a solução homogênea é
onde
são constantes arbitrárias. Expliquei cada termo: o
e
vêm da raiz simples; os termos
e
aparecem porque a raiz tem multiplicidade
.
Passo 4
Agora procuramos uma solução particular
da equação completa
Método de coeficientes a determinar: normalmente para um forçante
tentamos
. Mas aqui
e
já aparecem na solução homogênea, e com multiplicidade
(veja
acima). Quando há ressonância do tipo: o termo forçante corresponde a uma solução homogênea de multiplicidade
, devemos multiplicar a tentativa por
. Como
corresponde às raízes
que têm multiplicidade
, multiplicamos por
. Assim tentamos:
onde
são constantes a determinar.
Passo 5
Para calcular
e
é conveniente usar uma notação curta. Defina
logo
. Observações úteis sobre
:
porque
é combinação de
e
.
Calculemos
e
passo a passo:
Usando
obtemos
Agora calcule
:
Denote
. Vamos aplicar outra vez
(pois nosso operador linear é
):
Calcule e
:
Calcule
Usando
e
(derivadas de
), obtemos
Então
Portanto, aplicando
ao nosso candidato
chegamos a
Passo 6
Queremos
. Assim
Igualando coeficientes de
e
:
Logo a solução particular é
Passo 7
A solução geral da equação completa é a soma da homogênea com a particular:
com
constantes arbitrárias. Esta é a resposta final; cada termo tem interpretação: primeiros quatro termos vêm das quatro constantes de integração (ordem 4 da EDO) e o último é a correção particular para a forçante
.