para determinar a solução geral da equação diferencial dada.
y^{(t)}+2 y^{\prime \prime}+y=\operatorname{sen} t

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
y^{(t)}+2y^{\prime\prime}+y=\operatorname{sen} t.
Vou interpretar y^{(t)} como a derivada de quarta ordem y^{(4)} (é a interpretação natural quando aparecem y^{\prime\prime} e y junto). Assim o problema que vamos resolver é
y^{(4)}+2y^{\prime\prime}+y=\sin t.
Dados relevantes extraídos do enunciado:
  • A equação é linear de coeficientes constantes e não homogênea.
  • O termo não homogêneo (forçante) é \sin t.
  • Precisamos encontrar a solução geral y(t), que é a soma da solução geral da homogênea e de uma particular.

Passo 2

Primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada:
y^{(4)}+2y^{\prime\prime}+y=0.
Para isso usamos o método clássico: suponha soluções da forma y=e^{rt}. Substituindo obtemos a equação característica em r:
r^4+2r^2+1=0.
Explico: aqui r é o número complexo que aparece na hipótese y=e^{rt}. Ao derivar, y^{(k)}=r^k e^{rt}, então os coeficientes levam à equação polinomial acima.

Passo 3

Resolvendo a característica:
r^4+2r^2+1=(r^2+1)^2=0.
Portanto r^2=-1 com multiplicidade 2. Isso dá raízes complexas
r=\pm i,
cada uma com multiplicidade 2.
Quando temos raízes complexas conjugadas \alpha\pm i\beta de multiplicidade m, a parte real e imaginária geram soluções \mathrm{e}^{\alpha t}\cos(\beta t) e \mathrm{e}^{\alpha t}\sin(\beta t), multiplicadas por potências de t até t^{m-1} quando a raiz tem multiplicidade maior que 1. Aqui \alpha=0, \beta=1 e multiplicidade 2, então a solução homogênea é
y_h(t)=(C_1+C_2 t)\cos t+(C_3+C_4 t)\sin t,
onde C_1,C_2,C_3,C_4 são constantes arbitrárias. Expliquei cada termo: o C_1\cos t e C_3\sin t vêm da raiz simples; os termos t\cos t e t\sin t aparecem porque a raiz tem multiplicidade 2.

Passo 4

Agora procuramos uma solução particular y_p da equação completa
y^{(4)}+2y^{\prime\prime}+y=\sin t.
Método de coeficientes a determinar: normalmente para um forçante A\cos t+B\sin t tentamos a\cos t+b\sin t. Mas aqui \cos t e \sin t já aparecem na solução homogênea, e com multiplicidade 2 (veja y_h acima). Quando há ressonância do tipo: o termo forçante corresponde a uma solução homogênea de multiplicidade m, devemos multiplicar a tentativa por t^{m}. Como \sin t corresponde às raízes \pm i que têm multiplicidade 2, multiplicamos por t^2. Assim tentamos:
y_p(t)=t^{2}\bigl(A\cos t+B\sin t\bigr),
onde A,B são constantes a determinar.

Passo 5

Para calcular A e B é conveniente usar uma notação curta. Defina
u(t)=A\cos t+B\sin t,
logo y_p=t^2 u. Observações úteis sobre u:
u'=-A\sin t+B\cos t,\qquad u''=-u,
porque u é combinação de \cos t e \sin t.
Calculemos y_p' e y_p'' passo a passo:
y_p'=2t u+t^2 u',
y_p''=2u+4t u'+t^2 u''.
Usando u''=-u obtemos
y_p''=2u+4t u'-t^2 u.
Agora calcule (D^2+1)y_p=y_p''+y_p:
y_p''+y_p=(2u+4t u'-t^2 u)+t^2 u=2u+4t u'.
Denote z:=2u+4t u'. Vamos aplicar outra vez D^2+1 (pois nosso operador linear é L=(D^2+1)^2):
Calcule z' e z'':
z'=2u'+4u'+4t u''=6u'+4t u'',
z''=6u''+4u''+4t u'''=10u''+4t u'''.
Usando u''=-u e u'''=-u' (derivadas de u), obtemos
z''=10(-u)+4t(-u')=-10u-4t u'.
Então
z''+z=(-10u-4t u')+(2u+4t u')=-8u.
Portanto, aplicando L=(D^2+1)^2 ao nosso candidato y_p chegamos a
L[y_p]= -8u(t)=-8\bigl(A\cos t+B\sin t\bigr).

Passo 6

Queremos L[y_p]=\sin t. Assim
-8\bigl(A\cos t+B\sin t\bigr)=\sin t.
Igualando coeficientes de \cos t e \sin t:
-8A=0\quad\Rightarrow\quad A=0,
-8B=1\quad\Rightarrow\quad B=-\tfrac{1}{8}.
Logo a solução particular é
y_p(t)=-\tfrac{1}{8}t^2\sin t.

Passo 7

A solução geral da equação completa é a soma da homogênea com a particular:
y(t)=(C_1+C_2 t)\cos t+(C_3+C_4 t)\sin t-\tfrac{1}{8}t^2\sin t,
com C_1,C_2,C_3,C_4\in\mathbb{R} constantes arbitrárias. Esta é a resposta final; cada termo tem interpretação: primeiros quatro termos vêm das quatro constantes de integração (ordem 4 da EDO) e o último é a correção particular para a forçante \sin t.

Resposta

y(t)=(C_1+C_2 t)\cos t+(C_3+C_4 t)\sin t-\dfrac{1}{8}t^2\sin t

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