(Cuidado com a Regra da Cadeia) Resolva:
, para
.
Dica: A integral de
é
.
Dica: A integral de
Passo 1
Vamos entender claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
- A equação diferencial dada é
, válida para . - O que se pede: encontrar a solução geral
dessa equação diferencial no intervalo dado. - Informação importante do enunciado (peguei do próprio enunciado): a integral de
é . Isso será útil para calcular o fator integrante.
Passo 2
Identificar o tipo de equação e o método apropriado.
- A equação está na forma linear de primeira ordem
com
e
.
- O método padrão para essa classe é o método do fator integrante
, definido por
Vou aplicar esse método passo a passo. É o jeito mais direto e seguro para equações lineares de 1ª ordem.
Passo 3
Calcular o fator integrante
.
- Aqui
. Então
- Pela dica (e por cálculo conhecido),
- Logo
- Como estamos no intervalo
, tem-se e portanto . Assim, no intervalo dado podemos tomar
Passo 4
Multiplicar a equação original pelo fator integrante e usar a regra do produto.
- Multiplico ambos os lados por
:
- Agora explicação didática (por que fazemos isso?): pela regra do produto (derivada de um produto),
Se escolhemos
tal que
, a expressão do lado esquerdo da equação multiplicada coincide com
.
- Verificando explicitamente:
tem derivada
Isso é exatamente
. Portanto o lado esquerdo é
- O lado direito é
. Como ,
- Assim obtemos a equação simples
Passo 5
Integrar ambos os lados para obter
.
- Integro em relação a
:
- A integral do lado esquerdo remove a derivada, ficando
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Isolar
para obter a solução geral e comentar sobre a constante.
- Dividindo por
(ou multiplicando por ):
- Podemos reescrever a constante: se preferir, escrever
no lugar de ; é a mesma constante arbitrária que aparece em toda solução geral de ODE de 1ª ordem.
Passo 7
Verificação rápida (bastante útil na prova) e observações finais.
- Verificação: calcular
a partir de e substituir na equação original deve reproduzir a igualdade. (Rápida checagem: por produto, . Então , pois . Funciona.) - Observação sobre o intervalo: como usamos
sem valor absoluto, isso foi válido porque no intervalo temos . Se o intervalo incluísse pontos onde muda de sinal, seria necessário cuidar do valor absoluto ao passar de para .