(Cuidado com a Regra da Cadeia) Resolva: \frac{d y}{d x}+(\tan x) y=\cos x, para 0<x<\pi / 2.
Dica: A integral de \tan x é \ln |\operatorname{sec} x|.

Passo 1

Vamos entender claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • A equação diferencial dada é \dfrac{dy}{dx}+(\tan x)\,y=\cos x, válida para 0<x<\pi/2.
  • O que se pede: encontrar a solução geral y(x) dessa equação diferencial no intervalo dado.
  • Informação importante do enunciado (peguei do próprio enunciado): a integral de \tan x é \ln|\operatorname{sec} x|. Isso será útil para calcular o fator integrante.

Passo 2

Identificar o tipo de equação e o método apropriado.
  • A equação está na forma linear de primeira ordem
\frac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x),
com P(x)=\tan x e Q(x)=\cos x.
  • O método padrão para essa classe é o método do fator integrante \mu(x), definido por
\mu(x)=\exp\!\left(\int P(x)\,dx\right).
Vou aplicar esse método passo a passo. É o jeito mais direto e seguro para equações lineares de 1ª ordem.

Passo 3

Calcular o fator integrante \mu(x).
  • Aqui P(x)=\tan x. Então
\mu(x)=\exp\!\left(\int \tan x\,dx\right).
  • Pela dica (e por cálculo conhecido),
\int \tan x\,dx=\ln|\operatorname{sec} x|.
  • Logo
\mu(x)=\exp\!\big(\ln|\operatorname{sec} x|\big)=|\operatorname{sec} x|.
  • Como estamos no intervalo 0<x<\pi/2, tem-se \cos x>0 e portanto |\operatorname{sec} x|=\operatorname{sec} x. Assim, no intervalo dado podemos tomar
\mu(x)=\operatorname{sec} x.

Passo 4

Multiplicar a equação original pelo fator integrante e usar a regra do produto.
  • Multiplico ambos os lados por \mu(x)=\operatorname{sec} x:
\operatorname{sec} x\frac{dy}{dx}+\operatorname{sec} x\tan x\,y=\operatorname{sec} x\cos x.
  • Agora explicação didática (por que fazemos isso?): pela regra do produto (derivada de um produto),
\frac{d}{dx}\big(\mu(x)\,y\big)=\mu(x)\frac{dy}{dx}+\mu'(x)\,y.
Se escolhemos \mu tal que \mu'(x)=\mu(x)P(x), a expressão do lado esquerdo da equação multiplicada coincide com \dfrac{d}{dx}(\mu y).
  • Verificando explicitamente: \mu(x)=\operatorname{sec} x tem derivada
\mu'(x)=\frac{d}{dx}\operatorname{sec} x=\operatorname{sec} x\tan x.
Isso é exatamente \mu(x)P(x)=\operatorname{sec} x\cdot\tan x. Portanto o lado esquerdo é
\frac{d}{dx}\big(\operatorname{sec} x\;y\big).
  • O lado direito é \operatorname{sec} x\cos x. Como \operatorname{sec} x=\dfrac{1}{\cos x},
\operatorname{sec} x\cos x=1.
  • Assim obtemos a equação simples
\frac{d}{dx}\big(\operatorname{sec} x\;y\big)=1.

Passo 5

Integrar ambos os lados para obter \operatorname{sec} x\,y.
  • Integro em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\big(\operatorname{sec} x\;y\big)\,dx = \int 1\,dx.
  • A integral do lado esquerdo remove a derivada, ficando
\operatorname{sec} x\;y = x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Isolar y para obter a solução geral e comentar sobre a constante.
  • Dividindo por \operatorname{sec} x (ou multiplicando por \cos x):
y(x)=(x+C)\cos x.
  • Podemos reescrever a constante: se preferir, escrever C_1 no lugar de C; é a mesma constante arbitrária que aparece em toda solução geral de ODE de 1ª ordem.

Passo 7

Verificação rápida (bastante útil na prova) e observações finais.
  • Verificação: calcular y'(x) a partir de y=(x+C)\cos x e substituir na equação original deve reproduzir a igualdade. (Rápida checagem: por produto, y'=\cos x-(x+C)\sin x. Então y'+\tan x\,y=\cos x-(x+C)\sin x+\tan x\,(x+C)\cos x=\cos x, pois \tan x\cos x=\sin x. Funciona.)
  • Observação sobre o intervalo: como usamos \operatorname{sec} x sem valor absoluto, isso foi válido porque no intervalo 0<x<\pi/2 temos \cos x>0. Se o intervalo incluísse pontos onde \cos x muda de sinal, seria necessário cuidar do valor absoluto ao passar de \ln|\operatorname{sec} x| para \exp.

Resposta

y(x)=(x+C)\cos x

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