Resolva o PVI (Problema de Valor Inicial): \frac{d y}{d t}+\frac{1}{t} y=3 t, com y(1)=5. (Dica: Integre de t=1 até t ).
Passo 1
O enunciado fornece o problema de valor inicial
\frac{dy}{dt}+\frac{1}{t}y=3t, \qquad y(1)=5.
O que é pedido: encontrar a função y(t) que satisfaz a equação diferencial para t no domínio apropriado e que verifica a condição inicial y(1)=5.
Informações relevantes dadas:
A equação é uma equação diferencial de primeira ordem, linear em y.
O coeficiente de y é \dfrac{1}{t}, portanto a equação não está definida em t=0.
A condição inicial é em t=1, ou seja, estamos interessados no domínio com t>0.
A dica do enunciado sugere integrar de t=1 até t, ou seja, usar integrais definidos entre 1 e t.
Passo 2
Vamos reconhecer a forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
\frac{dy}{dt}+p(t)\,y=q(t).
Aqui temos p(t)=\dfrac{1}{t} e q(t)=3t.
Método que vamos usar (explicando bem): o fator integrante. A ideia é multiplicar a equação por uma função \mu(t) (chamada fator integrante) de modo que o lado esquerdo se torne a derivada de um produto \dfrac{d}{dt}\big(\mu(t)y\big). Para equações nessa forma, escolhe-se
\mu(t)=\exp\!\left(\int p(t)\,dt\right).
Isso funciona porque, pela regra do produto,
\frac{d}{dt}\big(\mu y\big)=\mu\frac{dy}{dt}+\mu' y,
e se \mu'=\mu p então \mu\frac{dy}{dt}+\mu p y=\mu q, ou seja o lado esquerdo vira a derivada de \mu y.