Resolva o PVI (Problema de Valor Inicial): \frac{d y}{d t}+\frac{1}{t} y=3 t, com y(1)=5. (Dica: Integre de t=1 até t ).

Passo 1

O enunciado fornece o problema de valor inicial
\frac{dy}{dt}+\frac{1}{t}y=3t, \qquad y(1)=5.
O que é pedido: encontrar a função y(t) que satisfaz a equação diferencial para t no domínio apropriado e que verifica a condição inicial y(1)=5.
Informações relevantes dadas:
  • A equação é uma equação diferencial de primeira ordem, linear em y.
  • O coeficiente de y é \dfrac{1}{t}, portanto a equação não está definida em t=0.
  • A condição inicial é em t=1, ou seja, estamos interessados no domínio com t>0.
  • A dica do enunciado sugere integrar de t=1 até t, ou seja, usar integrais definidos entre 1 e t.

Passo 2

Vamos reconhecer a forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
\frac{dy}{dt}+p(t)\,y=q(t).
Aqui temos p(t)=\dfrac{1}{t} e q(t)=3t.
Método que vamos usar (explicando bem): o fator integrante. A ideia é multiplicar a equação por uma função \mu(t) (chamada fator integrante) de modo que o lado esquerdo se torne a derivada de um produto \dfrac{d}{dt}\big(\mu(t)y\big). Para equações nessa forma, escolhe-se
\mu(t)=\exp\!\left(\int p(t)\,dt\right).
Isso funciona porque, pela regra do produto,
\frac{d}{dt}\big(\mu y\big)=\mu\frac{dy}{dt}+\mu' y,
e se \mu'=\mu p então \mu\frac{dy}{dt}+\mu p y=\mu q, ou seja o lado esquerdo vira a derivada de \mu y.

Passo 3

Calcular o fator integrante \mu(t):
\mu(t)=\exp\!\left(\int \frac{1}{t}\,dt\right)=\exp(\ln|t|)=|t|.
Como a condição inicial está em t=1 e estamos considerando t>0, temos \mu(t)=t (isso simplifica a notação e é consistente com o domínio).

Passo 4

Multiplicando a equação original por \mu(t)=t:
t\frac{dy}{dt} + \frac{t}{t}y = 3t\cdot t,
ou seja
t\frac{dy}{dt}+y=3t^2.
Pelo motivo do fator integrante, o lado esquerdo é a derivada do produto t y. Pelo produto:
\frac{d}{dt}\big(t y\big)=t\frac{dy}{dt}+1\cdot y,
logo a equação escrita é equivalente a
\frac{d}{dt}\big(t y(t)\big)=3t^2.

Passo 5

Agora integramos ambos os lados entre s=1 e s=t (uso s como variável de integração para não confundir com o limite superior t):
\int_{1}^{t}\frac{d}{ds}\big(s\,y(s)\big)\,ds=\int_{1}^{t}3s^2\,ds.
Pelo teorema fundamental do cálculo, a integral do lado esquerdo é a diferença de s y(s) nos extremos:
s\,y(s)\Big|_{s=1}^{s=t}=t\,y(t)-1\cdot y(1).
A integral do lado direito é elementar:
\int_{1}^{t}3s^2\,ds=3\cdot\frac{s^3}{3}\Big|_{1}^{t}=s^3\Big|_{1}^{t}=t^3-1.
Portanto obtemos a identidade
t\,y(t)-y(1)=t^3-1.

Passo 6

Substituir a condição inicial y(1)=5 na identidade anterior:
t\,y(t)-5=t^3-1.
Isolando y(t):
t\,y(t)=t^3-1+5=t^3+4,
logo
y(t)=\frac{t^3+4}{t}=t^2+\frac{4}{t}.

Passo 7

Verificação rápida (sanidade): para t=1,
y(1)=1^2+\frac{4}{1}=1+4=5,
que coincide com a condição inicial. A solução é válida para t>0 (onde a equação original e o fator integrante foram definidos).

Resposta

y(t)=t^2+\frac{4}{t}

Exercícios relacionados