Resolva a EDO:
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária linear de primeira ordem
O que se pede é encontrar a função
que satisfaz essa igualdade para todo
(solução geral). As informações relevantes são:
- O coeficiente de
é (constante). - O termo do lado direito é a constante
. - Não foi dada condição inicial, então devemos fornecer a solução geral com uma constante arbitrária.
Passo 2
Vamos escolher um método prático e padrão para este tipo de equação: o fator integrante. Aqui estão as ideias essenciais (explicadas devagar):
- Escrevemos a equação na forma padrão
. No nosso caso e . - O fator integrante
é uma função que, ao multiplicar a equação original, transforma o lado esquerdo em uma derivada exata do tipo . - A fórmula para
é
Aqui eu explico cada símbolo:
é o coeficiente de
na forma padrão;
é uma primitiva de
;
é a função exponencial.
Passo 3
Calcular o fator integrante para
:
Então o fator integrante é
. Nota rápida:
é sempre positivo e tem derivada
, propriedade que será útil.
Passo 4
Multiplica-se a equação original por
. Fazendo isso obtemos
A construção do fator integrante garante que o lado esquerdo é a derivada do produto
. Vamos verificar isso explicitamente:
que coincide exatamente com o lado esquerdo acima.
Passo 5
Assim a equação transformada fica
Agora integramos ambos os lados em relação a
. A integral do lado esquerdo é simplesmente
. No lado direito calculamos uma primitiva de
:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Portanto temos
Agora isolamos
dividindo por
(que nunca é zero):
Aqui
é a constante arbitrária da integração. Essa é a solução geral.
Passo 7
Interpretação e método alternativo curto (útil na prova): esta equação também pode ser resolvida pensando em solução complementar + solução particular.
- A equação homogênea associada é
. Separando obtém-se e integrando , logo (constante arbitrária). - Procurando uma solução particular
para a equação completa, como o termo do lado direito é constante, tenta-se constante. Substituindo na equação dá , logo . - Combinando:
. Chegou-se ao mesmo resultado.
Passo 8
Verificação rápida (substituição direta): derivando a solução
obtemos
Substituindo na equação original:
confirma que a igualdade vale, logo a solução está correta.
Passo 9
Dicas para a prova (curtas e práticas):
- Sempre escreva a equação na forma
antes de aplicar qualquer método. - Se
for constante, o fator integrante é — memorizável. - Quando
for constante, tente primeiro uma solução particular constante; muitas vezes isso resolve rápido. - Anote a constante de integração e, se der uma condição inicial, substitua para achar
.