Resolva a EDO: \frac{d y}{d x}+2 y=4.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária linear de primeira ordem
\frac{d y}{d x}+2y=4.
O que se pede é encontrar a função y(x) que satisfaz essa igualdade para todo x (solução geral). As informações relevantes são:
  • O coeficiente de y é 2 (constante).
  • O termo do lado direito é a constante 4.
  • Não foi dada condição inicial, então devemos fornecer a solução geral com uma constante arbitrária.

Passo 2

Vamos escolher um método prático e padrão para este tipo de equação: o fator integrante. Aqui estão as ideias essenciais (explicadas devagar):
  • Escrevemos a equação na forma padrão \dfrac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x). No nosso caso P(x)=2 e Q(x)=4.
  • O fator integrante \mu(x) é uma função que, ao multiplicar a equação original, transforma o lado esquerdo em uma derivada exata do tipo \dfrac{d}{dx}\big(\mu(x)\,y\big).
  • A fórmula para \mu(x) é
\mu(x)=\exp\!\Big(\int P(x)\,dx\Big).
Aqui eu explico cada símbolo: P(x) é o coeficiente de y na forma padrão; \int P(x)\,dx é uma primitiva de P(x); \exp(\cdot) é a função exponencial.

Passo 3

Calcular o fator integrante para P(x)=2:
\mu(x)=\exp\!\Big(\int 2\,dx\Big)=\exp(2x)=e^{2x}.
Então o fator integrante é \mu(x)=e^{2x}. Nota rápida: e^{2x} é sempre positivo e tem derivada 2e^{2x}, propriedade que será útil.

Passo 4

Multiplica-se a equação original por \mu(x)=e^{2x}. Fazendo isso obtemos
e^{2x}\frac{dy}{dx}+2e^{2x}y=4e^{2x}.
A construção do fator integrante garante que o lado esquerdo é a derivada do produto e^{2x}y. Vamos verificar isso explicitamente:
\frac{d}{dx}\big(e^{2x}y\big)=e^{2x}\frac{dy}{dx}+2e^{2x}y,
que coincide exatamente com o lado esquerdo acima.

Passo 5

Assim a equação transformada fica
\frac{d}{dx}\big(e^{2x}y\big)=4e^{2x}.
Agora integramos ambos os lados em relação a x. A integral do lado esquerdo é simplesmente e^{2x}y. No lado direito calculamos uma primitiva de 4e^{2x}:
\int 4e^{2x}\,dx = 4\int e^{2x}\,dx = 4\cdot \frac{1}{2}e^{2x}+C = 2e^{2x}+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Portanto temos
e^{2x}y = 2e^{2x}+C.
Agora isolamos y dividindo por e^{2x} (que nunca é zero):
y = 2 + C e^{-2x}.
Aqui C é a constante arbitrária da integração. Essa é a solução geral.

Passo 7

Interpretação e método alternativo curto (útil na prova): esta equação também pode ser resolvida pensando em solução complementar + solução particular.
  • A equação homogênea associada é \dfrac{dy}{dx}+2y=0. Separando obtém-se \dfrac{dy}{y}=-2dx e integrando \ln|y|=-2x+C_1, logo y_c=C e^{-2x} (constante C arbitrária).
  • Procurando uma solução particular y_p para a equação completa, como o termo do lado direito é constante, tenta-se y_p= constante. Substituindo na equação \dfrac{d y_p}{dx}+2y_p=4 0+2y_p=4, logo y_p=2.
  • Combinando: y=y_c+y_p=2+Ce^{-2x}. Chegou-se ao mesmo resultado.

Passo 8

Verificação rápida (substituição direta): derivando a solução y=2+Ce^{-2x} obtemos
\frac{dy}{dx} = -2Ce^{-2x}.
Substituindo na equação original:
\frac{dy}{dx}+2y = -2Ce^{-2x} + 2(2+Ce^{-2x}) = -2Ce^{-2x}+4+2Ce^{-2x}=4,
confirma que a igualdade vale, logo a solução está correta.

Passo 9

Dicas para a prova (curtas e práticas):
  • Sempre escreva a equação na forma \dfrac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x) antes de aplicar qualquer método.
  • Se P(x) for constante, o fator integrante é e^{P x} — memorizável.
  • Quando Q(x) for constante, tente primeiro uma solução particular constante; muitas vezes isso resolve rápido.
  • Anote a constante de integração e, se der uma condição inicial, substitua para achar C.

Resposta

y(x)=2+Ce^{-2x}

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