K) Nos exercícios abaixo, verifique se a série: (a) converge absolutamente; (b) converge condicionalmente.
sumk=1^infty (-1)^k+1 k ! 6^k

Passo 1

O enunciado dá a série alternante
sumk=1^infty (-1)^k+1,k!6^k
e pede para verificar (a) convergência absoluta e (b) convergência condicional. Vamos usar o teste da razão para a parte (a) e o comportamento do termo geral para a parte (b).

Passo 2

Para a convergência absoluta, consideramos
sumk=1^infty gl|(-1)^k+1k!6^kgr| =sumk=1^inftyk!6^k
Aplicando o teste da razão, calculamos
L =limktoinfty(k+1)!6^,k+1k!6^,k =limktoinftyk+16 =infty
Como L>1, a série dos módulos diverge. Logo, não converge absolutamente.

Passo 3

Para a convergência condicional seria preciso que o termo geral da série original tendesse a zero. Porém,
limktoinftyk!6^k=infty,
pois o fatorial cresce muito mais rápido que a potência. Assim, o termo geral não se anula e a série nem mesmo converge. Portanto, não há convergência condicional.

Resposta

(a) Não converge absolutamente.
(b) Não converge condicionalmente (a série diverge).

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