K) Nos exercícios abaixo, verifique se a série: (a) converge absolutamente; (b) converge condicionalmente.
Passo 1
O enunciado dá a série alternante
e pede para verificar (a) convergência absoluta e (b) convergência condicional. Vamos usar o teste da razão para a parte (a) e o comportamento do termo geral para a parte (b).
Passo 2
Para a convergência absoluta, consideramos
Aplicando o teste da razão, calculamos
L =limktoinfty(k+1)!6^,k+1k!6^,k =limktoinftyk+16 =infty
Como L>1, a série dos módulos diverge. Logo, não converge absolutamente.
Passo 3
Para a convergência condicional seria preciso que o termo geral da série original tendesse a zero. Porém,
limktoinftyk!6^k=infty,
pois o fatorial cresce muito mais rápido que a potência. Assim, o termo geral não se anula e a série nem mesmo converge. Portanto, não há convergência condicional.
Resposta
(a) Não converge absolutamente.
(b) Não converge condicionalmente (a série diverge).