Em um cultivo contínuo para o crescimento de células de Saccharomyces cerevisiae, utilizando um reator com volume útil de 100 litros, sendo o mesmo alimentado com mosto estéril contendo 25 \mathrm{~g} / \mathrm{L} de substrato limitante, foram levantados os seguintes dados para vários regimes permanentes:
F (L/h) S (g/L)
6,452 0,20
7,143 0,25
8,000 0,333
9,091 0,50
10,526 1,00
11,628 2,50
12,048 5,00
Com base no acima proposto, determine os valores de \mu_{\max } e \mathrm{K}_{s} para as leveduras em estudo;

Passo 1

O enunciado trata de um cultivo contínuo em regime permanente (chemostato) de Saccharomyces cerevisiae num reator de volume V = 100 L, alimentado com substrato limitante em S_f = 25 g/L. Para cada vazão de alimentação F observou-se a concentração residual de substrato S no estado estacionário. O conteúdo da matéria é cinética de Monod e, em regime permanente, vale
\mu = D = \frac{F}{V},
onde
\mu = \mu_{\max}\,\frac{S}{K_s + S}.
Queremos determinar \mu_{\max} e K_s.

Passo 2

Escrevemos a igualdade em regime permanente combinando Monod e diluição:
D = \mu_{\max}\,\frac{S}{K_s + S}.
Fazendo a linearização pelo método de Lineweaver–Burk, tomamos inversos:
\frac{1}{D} = \frac{K_s + S}{\mu_{\max}\,S} = \frac{1}{\mu_{\max}} \;+\; \frac{K_s}{\mu_{\max}}\;\frac{1}{S}.
Isto é uma reta \tfrac{1}{D} = \tfrac{1}{\mu_{\max}} + \tfrac{K_s}{\mu_{\max}}\,(1/S) de coeficiente angular \tfrac{K_s}{\mu_{\max}} e intercepto \tfrac{1}{\mu_{\max}}.

Passo 3

Calculamos D = F/V e depois \,1/D e 1/S.
\begin{array}{c|c|c|c|c} F\\ (\mathrm{L/h}) & S\\ (\mathrm{g/L}) & D = F/100\\ (\mathrm{h^{-1}}) & 1/S\\ (\mathrm{L/g}) & 1/D\\ (\mathrm{h})\\hline 6{,}452 & 0{,}20 & 0{,}06452 & 5{,}00 & 15{,}50\\\\ 7{,}143 & 0{,}25 & 0{,}07143 & 4{,}00 & 14{,}00\\\\ 8{,}000 & 0{,}333 & 0{,}08000 & 3{,}00 & 12{,}50\\\\ 9{,}091 & 0{,}50 & 0{,}09091 & 2{,}00 & 11{,}00\\\\ 10{,}526 & 1{,}00 & 0{,}10526 & 1{,}00 & 9{,}50\\\\ 11{,}628 & 2{,}50 & 0{,}11628 & 0{,}40 & 8{,}60\\\\ 12{,}048 & 5{,}00 & 0{,}12048 & 0{,}20 & 8{,}30 \end{array}

Passo 4

Plotando (1/S,\;1/D) dá uma reta aproximada com coeficiente angular
\text{slope} = \frac{\Delta(1/D)}{\Delta(1/S)}\approx\frac{15{,}5-8{,}3}{5-0{,}2}\approx1{,}5
e intercepto
b = \frac{1}{\mu_{\max}}\approx8{,}0.

Passo 5

Da reta temos
\frac{1}{\mu_{\max}} = 8{,}0 \quad\Longrightarrow\quad \mu_{\max} = \frac{1}{8{,}0} = 0{,}125\\ \mathrm{h^{-1}},
e
\frac{K_s}{\mu_{\max}} = 1{,}5 \quad\Longrightarrow\quad K_s = 1{,}5 \times 0{,}125 = 0{,}1875\\ \mathrm{g/L}.

Resposta

\displaystyle \mu_{\max} = 0{,}125\\ \mathrm{h^{-1}},\quad K_s = 0{,}19\\ \mathrm{g/L}.

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