Qual a relação entre K_{s} e S, quando uma reação promovida por um microrganismo ocorre a 90 \% de \mu_{\max } ?

Passo 1

A questão usa a cinética de Monod, que descreve a taxa de crescimento específico \mu de um microrganismo em função da concentração de substrato S. A relação é
\mu = \mu_{\max}\,\frac{S}{K_{s}+S},
onde \mu_{\max} é a taxa máxima de crescimento e K_{s} é a constante de semissaturação. Queremos encontrar a relação entre K_{s} e S quando \mu atinge 90\% de \mu_{\max}.

Passo 2

Substituímos \mu = 0{,}9\,\mu_{\max} na equação de Monod:
0{,}9\,\mu_{\max} = \mu_{\max}\,\frac{S}{K_{s}+S}.
Podemos cancelar \mu_{\max} dos dois lados porque é diferente de zero.

Passo 3

Fica então
0{,}9 = \frac{S}{K_{s}+S}
Multiplicando ambos os lados por K_{s}+S:
0{,}9\,K_{s} + 0{,}9\,S = S
Reorganizando:
0{,}9\,K_{s} = S - 0{,}9\,S = 0{,}1\,S
Logo,
K_{s} = \frac{0{,}1}{0{,}9}\,S = \frac{1}{9}\,S.

Resposta

K_{s} = \frac{1}{9}\,S \quad\Longleftrightarrow\quad S = 9\,K_{s}.

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