Uma cultura aeróbica de bactérias em metanol apresentou os seguintes resultados para um processo em batelada:
Tempo (h)
0
2
4
8
10
12
14
16
18
0,200
0,211
0,305
0,980
1,770
3,200
5,600
6,150
6,200
9,230
9,210
9,070
8,030
6,800
4,600
0,920
0,077
0
Calcule:
A velocidade específica de crescimento para 10 horas.
| Tempo (h) | 0 | 2 | 4 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 |
|
|
0,200 | 0,211 | 0,305 | 0,980 | 1,770 | 3,200 | 5,600 | 6,150 | 6,200 |
|
|
9,230 | 9,210 | 9,070 | 8,030 | 6,800 | 4,600 | 0,920 | 0,077 | 0 |
A velocidade específica de crescimento para 10 horas.
Passo 1
O enunciado pede: calcular a velocidade específica de crescimento no instante
horas.
Informações fornecidas (peguei os dados da tabela do enunciado):
Tempos (h): .
Concentrações de biomassa (g/L):
.
Concentrações de substrato (g/L):
.
Informações fornecidas (peguei os dados da tabela do enunciado):
Tempos (h):
Concentrações de biomassa
Concentrações de substrato
O que preciso entregar: um valor numérico para a velocidade específica de crescimento no tempo
h.
Passo 2
O que é a velocidade específica de crescimento e como calculamos? Vou explicar devagarinho.
Definição matemática (fórmula fundamental): a velocidade específica de crescimento é dada por
Definição matemática (fórmula fundamental): a velocidade específica de crescimento
Aqui:
-
é a velocidade específica de crescimento no tempo (unidade: ). -
é a concentração de biomassa em g/L. -
é a derivada temporal da biomassa (variação de por unidade de tempo).
Uma forma muito prática (e equivalente) de trabalhar é usar o logaritmo natural da biomassa:
Isto é útil porque, durante a fase exponencial de crescimento, o gráfico de
versus
é aproximadamente uma reta com inclinação
. Com dados discretos como os da tabela, aproximamos a derivada por uma diferença finita (isto é, um coeficiente angular entre pontos).
Passo 3
Escolha do método numérico para estimar
em
h: com dados discretos, a melhor aproximação local é usar uma diferença centrada no ponto de interesse — isto reduz erro numérico. Como temos valores em
h e
h, vou usar a diferença centrada na forma
Escolhi esse par porque é simétrico em relação a
e usa pontos próximos (8 e 12 h), então dá uma estimativa mais robusta do que usar apenas um lado.
Passo 4
Agora calculamos passo a passo usando os valores da tabela (peguei
g/L e
g/L da tabela).
- Calcular os logaritmos naturais:
(Usei aproximações com 5 casas decimais para manter clareza; se você fizer na prova, calcular com a precisão disponível é suficiente.)
- Diferença dos logaritmos:
- Dividir pelo intervalo de tempo
h:
Arredondando de forma prática,
.
Passo 5
Verificação rápida (para você confiar no resultado): podemos também estimar
usando o intervalo
–
e
–
(diferença forward/backward) e ver se bate com o centrado.
- Entre
e :
- Entre
e :
As três estimativas (centrada e as duas laterais) estão coerentes e todas dão cerca de
. Isso é bom: significa que naquele trecho os dados estão próximos de um crescimento exponencial local.
Passo 6
Conclusão final: a velocidade específica de crescimento no tempo
h, calculada pelos métodos explicados, é aproximadamente
. Vai com calma — esse é um valor típico de crescimento rápido e as contas mostram consistência entre diferentes aproximações.