Uma cultura aeróbica de bactérias em metanol apresentou os seguintes resultados para um processo em batelada:
Tempo (h) 0 2 4 8 10 12 14 16 18
\mathbf{X}(\mathbf{g} / \mathbf{L}) 0,200 0,211 0,305 0,980 1,770 3,200 5,600 6,150 6,200
\mathbf{S}(\mathbf{g} / \mathbf{L}) 9,230 9,210 9,070 8,030 6,800 4,600 0,920 0,077 0
Calcule:
A velocidade específica de crescimento para 10 horas.

Passo 1

O enunciado pede: calcular a velocidade específica de crescimento no instante 10 horas.
Informações fornecidas (peguei os dados da tabela do enunciado):
Tempos (h): 0,\;2,\;4,\;8,\;10,\;12,\;14,\;16,\;18.
Concentrações de biomassa X (g/L): 0,200;\;0,211;\;0,305;\;0,980;\;1,770;\;3,200;\;5,600;\;6,150;\;6,200.
Concentrações de substrato S (g/L): 9,230;\;9,210;\;9,070;\;8,030;\;6,800;\;4,600;\;0,920;\;0,077;\;0.
O que preciso entregar: um valor numérico para a velocidade específica de crescimento no tempo t=10 h.

Passo 2

O que é a velocidade específica de crescimento e como calculamos? Vou explicar devagarinho.
Definição matemática (fórmula fundamental): a velocidade específica de crescimento \mu é dada por
\mu(t)=\frac{1}{X(t)}\frac{dX(t)}{dt}.
Aqui:
  • \mu(t) é a velocidade específica de crescimento no tempo t (unidade: \mathrm{h}^{-1}).
  • X(t) é a concentração de biomassa em g/L.
  • \frac{dX}{dt} é a derivada temporal da biomassa (variação de X por unidade de tempo).
Uma forma muito prática (e equivalente) de trabalhar é usar o logaritmo natural da biomassa:
\mu(t)=\frac{d}{dt}\big(\ln X(t)\big).
Isto é útil porque, durante a fase exponencial de crescimento, o gráfico de \ln X versus t é aproximadamente uma reta com inclinação \mu. Com dados discretos como os da tabela, aproximamos a derivada por uma diferença finita (isto é, um coeficiente angular entre pontos).

Passo 3

Escolha do método numérico para estimar \mu em t=10 h: com dados discretos, a melhor aproximação local é usar uma diferença centrada no ponto de interesse — isto reduz erro numérico. Como temos valores em t=8 h e t=12 h, vou usar a diferença centrada na forma
\mu(10)\approx\frac{\ln X(12)-\ln X(8)}{12-8}.
Escolhi esse par porque é simétrico em relação a t=10 e usa pontos próximos (8 e 12 h), então dá uma estimativa mais robusta do que usar apenas um lado.

Passo 4

Agora calculamos passo a passo usando os valores da tabela (peguei X(8)=0,980 g/L e X(12)=3,200 g/L da tabela).
  1. Calcular os logaritmos naturais:
\ln\!\big(X(12)\big)=\ln\!(3,200)\approx 1,16315,
\ln\!\big(X(8)\big)=\ln\!(0,980)\approx -0,02020.
(Usei aproximações com 5 casas decimais para manter clareza; se você fizer na prova, calcular com a precisão disponível é suficiente.)
  1. Diferença dos logaritmos:
\ln\!(3,200)-\ln\!(0,980)\approx 1,16315-(-0,02020)=1,18335.
  1. Dividir pelo intervalo de tempo 12-8=4 h:
\mu(10)\approx\frac{1,18335}{4}=0,29584\\ \mathrm{h}^{-1}.
Arredondando de forma prática, \mu(10)\approx 0,296\\ \mathrm{h}^{-1}.

Passo 5

Verificação rápida (para você confiar no resultado): podemos também estimar \mu usando o intervalo 8 10 e 10 12 (diferença forward/backward) e ver se bate com o centrado.
  • Entre 8 e 10:
\mu_{8\to10}\approx\frac{\ln(1,770)-\ln(0,980)}{10-8} =\frac{\ln(1,770/0,980)}{2}\approx\frac{0,59241}{2}=0,29621\\ \mathrm{h}^{-1}.
  • Entre 10 e 12:
\mu_{10\to12}\approx\frac{\ln(3,200)-\ln(1,770)}{12-10} =\frac{\ln(3,200/1,770)}{2}\approx\frac{0,59301}{2}=0,29650\\ \mathrm{h}^{-1}.
As três estimativas (centrada e as duas laterais) estão coerentes e todas dão cerca de 0,296\\ \mathrm{h}^{-1}. Isso é bom: significa que naquele trecho os dados estão próximos de um crescimento exponencial local.

Passo 6

Conclusão final: a velocidade específica de crescimento no tempo t=10 h, calculada pelos métodos explicados, é aproximadamente 0,296\\ \mathrm{h}^{-1}. Vai com calma — esse é um valor típico de crescimento rápido e as contas mostram consistência entre diferentes aproximações.

Resposta

0,296\\ \mathrm{h}^{-1}

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