14- Realiza-se um estudo cinético do crescimento de Candida utilis sobre glicose em um biorreator batelada alimentada. O biorreator contém inicialmente 5 L de meio com 1 \mathrm{~g} / \mathrm{L} de glicose e 2 \mathrm{~g} / \mathrm{L} de levedura. Ao curso do crescimento adiciona-se ao biorreator de uma forma contínua, 100 \mathrm{~g} / \mathrm{L} de glicose de forma a manter a concentração desta constante e igual a 1 \mathrm{~g} / \mathrm{L} dentro do biorreator. Nessas condições obtém-se as variações mostradas no quadro abaixo, em função do tempo, do volume do meio e da concentração celular. Obtenha a velocidade específica de crescimento da levedura e o fator de conversão de glicose em biomassa.
Tempo (h) Volume (L) \mathbf{X ( g / L )}
4 5,2 3,6
8 5,6 6,5
10 5,9 8,4
12 6,3 10,8
14 6,9 13,5

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. A velocidade específica de crescimento da levedura, isto é, \mu (unidade: \mathrm{h^{-1}}).
  2. O fator de conversão de glicose em biomassa, isto é, o rendimento Y_{X/S} (unidade: \mathrm{g_{X}/g_{S}}).
Dados fornecidos (vou listar exatamente os números do enunciado):
  • Condições iniciais no reator (tempo t=0): volume V_0=5{,}0\\ \mathrm{L}, concentração celular X_0=2{,}0\\ \mathrm{g/L}, glicose inicial S mantida em 1{,}0\\ \mathrm{g/L}.
  • Alimentação contínua com solução de glicose a concentração S_f=100\\ \mathrm{g/L}, ajustada de modo que a concentração no reator seja mantida constante em S=1{,}0\\ \mathrm{g/L}.
  • Tabela experimental (vou usar os valores literais):
\begin{array}{c|c|c} \text{Tempo (h)} & V\\ (\mathrm{L}) & X\\ (\mathrm{g/L})\\hline 0 & 5{,}0 & 2{,}0\\\\ 4 & 5{,}2 & 3{,}6\\\\ 8 & 5{,}6 & 6{,}5\\\\ 10 & 5{,}9 & 8{,}4\\\\ 12 & 6{,}3 & 10{,}8\\\\ 14 & 6{,}9 & 13{,}5 \end{array}
Observações importantes (uso nas contas posteriores):
  • Biomassa total no reator em cada instante é B(t)=X(t)\,V(t) (unidade: g).
  • A concentração de substrato no reator é mantida constante em \,S=1{,}0\\ \mathrm{g/L}\, e a alimentação tem concentração \,S_f=100\\ \mathrm{g/L}.

Passo 2

Modelagem e relações fundamentais — vou apresentar a teoria e as fórmulas que iremos usar, passo a passo e com explicações simples.
  1. Definição de grandezas:
  • X(t) = concentração celular (biomassa) em \mathrm{g/L}.
  • V(t) = volume no reator em \mathrm{L}.
  • B(t)=X(t)\,V(t) = biomassa total no reator em \mathrm{g}.
  • \mu = velocidade específica de crescimento (assumimos constante porque S é mantido constante).
  • Y_{X/S} = rendimento biomassa por substrato consumido, em \mathrm{g_{X}/g_{S}}.
  • F(t) = vazão de alimentação em \mathrm{L/h}, com dV/dt=F(t).
  1. Equação de crescimento para biomassa total em fed-batch:
    Em um reator fed-batch, a taxa de variação da biomassa total é gerada pelo crescimento celular apenas (não há remoção):
\frac{dB}{dt}=\mu\,B.
Isso implica que, se \mu é constante (porque S é mantido constante), então B(t) cresce exponencialmente e
B(t)=B(0)\,e^{\mu t}.
Uma forma prática de obter \mu a partir de dados é traçar \ln B versus t; o coeficiente angular dessa reta é \mu:
\mu=\frac{d}{dt}\ln B(t).
  1. Balanço de substrato (massa) com S mantido constante:
    Balanço de substrato no reator (em g/h):
\frac{d(SV)}{dt}=F S_f - r_S V,
onde r_S é a taxa volumétrica de consumo de substrato ( \mathrm{g_S/(L\cdot h)}). Como S é constante, \frac{d(SV)}{dt}=S\frac{dV}{dt}=S F. Portanto
S F = F S_f - r_S V \quad\Rightarrow\quad r_S V = F(S_f - S).
  1. Relação entre consumo de substrato e crescimento (definição de rendimento):
    A taxa volumétrica de formação de biomassa é r_X=\mu X ( \mathrm{g_X/(L\cdot h)}). Pelo rendimento,
r_X = Y_{X/S}\, r_S \quad\Rightarrow\quad r_S=\frac{r_X}{Y_{X/S}}=\frac{\mu X}{Y_{X/S}}.
Multiplicando por V e combinando com o balanço de substrato:
\frac{\mu X V}{Y_{X/S}} = F(S_f - S).
Como X V = B e F=dV/dt, obtemos uma forma conveniente:
\frac{\mu B}{Y_{X/S}} = \frac{dV}{dt}\,(S_f - S).
  1. Simplificação útil para o rendimento:
    Note que \mu B = dB/dt. Assim
Y_{X/S}=\frac{\mu B}{\dfrac{dV}{dt}\,(S_f-S)}=\frac{\dfrac{dB}{dt}}{\dfrac{dV}{dt}\,(S_f-S)}.
Ao dividir numerador e denominador por dV/dt obtemos uma forma muito simples, em termos de variação de B em função de V:
Y_{X/S}=\frac{dB/dt}{(dV/dt)(S_f-S)}=\frac{dB/dV}{S_f-S}.
Isto é intuitivo: para cada litro de alimentação adicionada há uma certa massa de substrato disponível (S_f-S) por litro de alimentação, e a inclinação dB/dV diz quanto de biomassa total se ganha por litro de volume acrescentado. Portanto
\boxed{Y_{X/S}=\frac{dB}{dV}\cdot\frac{1}{S_f-S}}.
Essa fórmula é muito prática: podemos calcular dB/dV pelos dados experimentais (diferença de B dividida por diferença de V), e então dividir por (S_f-S)=100-1=99\\ \mathrm{g/L}.
Resumo do plano prático:
  • Calcular B(t)=X(t) V(t) para cada ponto.
  • Estimar \mu ajustando uma reta a \ln B vs t (regressão linear) ou calculando slope entre pontos: melhor usar regressão com todos os pontos.
  • Estimar Y_{X/S} calculando a inclinação global \Delta B/\Delta V (ou por intervalos e tirar média) e dividir por 99.

Passo 3

Cálculo dos valores de biomassa total B=XV para cada ponto (faço as contas passo a passo):
\begin{aligned} B(0\\ \mathrm{h}) &= X_0 V_0 = 2{,}0\cdot 5{,}0 = 10{,}00\\ \mathrm{g},\\[4pt] B(4\\ \mathrm{h}) &= 3{,}6\cdot 5{,}2 = 18{,}72\\ \mathrm{g},\\[4pt] B(8\\ \mathrm{h}) &= 6{,}5\cdot 5{,}6 = 36{,}40\\ \mathrm{g},\\[4pt] B(10\\ \mathrm{h}) &= 8{,}4\cdot 5{,}9 = 49{,}56\\ \mathrm{g},\\[4pt] B(12\\ \mathrm{h}) &= 10{,}8\cdot 6{,}3 = 68{,}04\\ \mathrm{g},\\[4pt] B(14\\ \mathrm{h}) &= 13{,}5\cdot 6{,}9 = 93{,}15\\ \mathrm{g}. \end{aligned}
Agora calculo \ln B para cada ponto (para obter \mu pelo ajuste linear de \ln B vs t) — mostro valores aproximados com 4 casas decimais:
\begin{aligned} \ln B(0) &= \ln(10{,}00) = 2{,}3026,\\[4pt] \ln B(4) &= \ln(18{,}72) = 2{,}9290,\\[4pt] \ln B(8) &= \ln(36{,}40) = 3{,}5937,\\[4pt] \ln B(10) &= \ln(49{,}56) = 3{,}9032,\\[4pt] \ln B(12) &= \ln(68{,}04) = 4{,}2186,\\[4pt] \ln B(14) &= \ln(93{,}15) = 4{,}5346. \end{aligned}
Vou ajustar uma reta por regressão linear pelo método dos mínimos quadrados: a inclinação dessa reta é \mu.
Para N=6 pontos uso a fórmula
\mu=\frac{N\sum t\ln B - \left(\sum t\right)\left(\sum \ln B\right)}{N\sum t^2 - \left(\sum t\right)^2}.
Calculos auxiliares (mostrando as somas utilizadas):
\begin{aligned} \sum t &= 0+4+8+10+12+14=48,\\[4pt] \sum t^2 &= 0^2+4^2+8^2+10^2+12^2+14^2=520,\\[4pt] \sum \ln B &\approx 2{,}3026+2{,}9290+3{,}5937+3{,}9032+4{,}2186+4{,}5346=21{,}4817,\\[4pt] \sum t\ln B &\approx 0\cdot2{,}3026+4\cdot2{,}9290+8\cdot3{,}5937+10\cdot3{,}9032+12\cdot4{,}2186+14\cdot4{,}5346\\\ &\approx 193{,}6052. \end{aligned}
Substituindo:
\mu \approx \frac{6\cdot 193{,}6052 - 48\cdot 21{,}4817}{6\cdot 520 - 48^2} = \frac{130{,}5105}{816} \approx 0{,}1600\\ \mathrm{h^{-1}}.
Interpretação didática: traçando \ln B em função do tempo teríamos uma reta de inclinação \mu; o valor calculado usando todos os pontos foi \mu\approx 0{,}160\\ \mathrm{h^{-1}}. Esse é o crescimento específico constante (justificável porque S foi mantido constante).]

Passo 4

Cálculo do rendimento Y_{X/S} usando a fórmula prática encontrada:
Y_{X/S}=\frac{dB}{dV}\cdot\frac{1}{S_f-S},\qquad S_f-S = 100-1 = 99\\ \mathrm{g/L}.
Posso calcular a inclinação global \Delta B/\Delta V entre o início ( V=5{,}0, B=10{,}00) e o fim ( V=6{,}9, B=93{,}15):
\frac{\Delta B}{\Delta V} = \frac{93{,}15 - 10{,}00}{6{,}9 - 5{,}0} = \frac{83{,}15}{1{,}9} \approx 43{,}7632\\ \mathrm{g\\ biomass/L\\ added}.
Então
Y_{X/S} \approx \frac{43{,}7632}{99} \approx 0{,}4421\\ \mathrm{g_{X}/g_{S}}.
Para ver a variabilidade, calculo Y_{X/S} por intervalos consecutivos (mostrando que os valores são consistentes):
Intervalos e cálculos rápidos:
\begin{aligned} &\text{0–4 h: }\frac{\Delta B}{\Delta V}=\frac{18{,}72-10{,}00}{5{,}2-5{,}0}=\frac{8{,}72}{0{,}2}=43{,}6\quad\Rightarrow\quad Y=\frac{43{,}6}{99}=0{,}4404,\\[4pt] &\text{4–8 h: }\frac{\Delta B}{\Delta V}=\frac{36{,}40-18{,}72}{5{,}6-5{,}2}=\frac{17{,}68}{0{,}4}=44{,}20\quad\Rightarrow\quad Y=\frac{44{,}20}{99}=0{,}4465,\\[4pt] &\text{8–10 h: }\frac{\Delta B}{\Delta V}=\frac{49{,}56-36{,}40}{5{,}9-5{,}6}=\frac{13{,}16}{0{,}3}=43{,}8667\quad\Rightarrow\quad Y=\frac{43{,}8667}{99}=0{,}4431,\\[4pt] &\text{10–12 h: }\frac{\Delta B}{\Delta V}=\frac{68{,}04-49{,}56}{6{,}3-5{,}9}=\frac{18{,}48}{0{,}4}=46{,}20\quad\Rightarrow\quad Y=\frac{46{,}20}{99}=0{,}4667,\\[4pt] &\text{12–14 h: }\frac{\Delta B}{\Delta V}=\frac{93{,}15-68{,}04}{6{,}9-6{,}3}=\frac{25{,}11}{0{,}6}=41{,}85\quad\Rightarrow\quad Y=\frac{41{,}85}{99}=0{,}4227. \end{aligned}
Esses valores individuais oscilam em torno de 0{,}44; a inclinação global (inicial→final) deu Y_{X/S}\approx 0{,}442. Para relatório prático, um valor médio representativo é Y_{X/S}\approx 0{,}44\\ \mathrm{g_{X}/g_{S}}.]

Passo 5

Interpretação final e unidades:
  • \mu\approx 0{,}160\\ \mathrm{h^{-1}} significa que a biomassa total cresce com taxa específica de cerca de 0{,}160 por hora (tempo de duplicação aproximadamente \ln 2/\mu \approx 4{,}33\\ \mathrm{h}).
  • Y_{X/S}\approx 0{,}44\\ \mathrm{g_{X}/g_{S}} significa que, em média, cada grama de glicose consumida gerou cerca de 0{,}44 gramas de biomassa seca.

Resposta

\mu = 0{,}160\\ \mathrm{h^{-1}}
Y_{X/S} = 0{,}44\\ \mathrm{g_{X}/g_{S}}

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