14- Realiza-se um estudo cinético do crescimento de Candida utilis sobre glicose em um biorreator batelada alimentada. O biorreator contém inicialmente 5 L de meio com
de glicose e
de levedura. Ao curso do crescimento adiciona-se ao biorreator de uma forma contínua,
de glicose de forma a manter a concentração desta constante e igual a
dentro do biorreator. Nessas condições obtém-se as variações mostradas no quadro abaixo, em função do tempo, do volume do meio e da concentração celular. Obtenha a velocidade específica de crescimento da levedura e o fator de conversão de glicose em biomassa.
Tempo (h)
Volume (L)
4
5,2
3,6
8
5,6
6,5
10
5,9
8,4
12
6,3
10,8
14
6,9
13,5
| Tempo (h) | Volume (L) |
|
| 4 | 5,2 | 3,6 |
| 8 | 5,6 | 6,5 |
| 10 | 5,9 | 8,4 |
| 12 | 6,3 | 10,8 |
| 14 | 6,9 | 13,5 |
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- A velocidade específica de crescimento da levedura, isto é,
(unidade: ). - O fator de conversão de glicose em biomassa, isto é, o rendimento
(unidade: ).
Dados fornecidos (vou listar exatamente os números do enunciado):
- Condições iniciais no reator (tempo
): volume , concentração celular , glicose inicial mantida em . - Alimentação contínua com solução de glicose a concentração
, ajustada de modo que a concentração no reator seja mantida constante em . - Tabela experimental (vou usar os valores literais):
Observações importantes (uso nas contas posteriores):
- Biomassa total no reator em cada instante é
(unidade: g). - A concentração de substrato no reator é mantida constante em
e a alimentação tem concentração .
Passo 2
Modelagem e relações fundamentais — vou apresentar a teoria e as fórmulas que iremos usar, passo a passo e com explicações simples.
- Definição de grandezas:
-
= concentração celular (biomassa) em . -
= volume no reator em . -
= biomassa total no reator em . -
= velocidade específica de crescimento (assumimos constante porque é mantido constante). -
= rendimento biomassa por substrato consumido, em . -
= vazão de alimentação em , com .
- Equação de crescimento para biomassa total em fed-batch:
Em um reator fed-batch, a taxa de variação da biomassa total é gerada pelo crescimento celular apenas (não há remoção):
Isso implica que, se
é constante (porque
é mantido constante), então
cresce exponencialmente e
Uma forma prática de obter
a partir de dados é traçar
versus
; o coeficiente angular dessa reta é
:
- Balanço de substrato (massa) com
mantido constante:
Balanço de substrato no reator (em g/h):
onde
é a taxa volumétrica de consumo de substrato (
). Como
é constante,
. Portanto
- Relação entre consumo de substrato e crescimento (definição de rendimento):
A taxa volumétrica de formação de biomassa é( ). Pelo rendimento,
Multiplicando por
e combinando com o balanço de substrato:
Como
e
, obtemos uma forma conveniente:
- Simplificação útil para o rendimento:
Note que. Assim
Ao dividir numerador e denominador por
obtemos uma forma muito simples, em termos de variação de
em função de
:
Isto é intuitivo: para cada litro de alimentação adicionada há uma certa massa de substrato disponível
por litro de alimentação, e a inclinação
diz quanto de biomassa total se ganha por litro de volume acrescentado. Portanto
Essa fórmula é muito prática: podemos calcular
pelos dados experimentais (diferença de
dividida por diferença de
), e então dividir por
.
Resumo do plano prático:
- Calcular
para cada ponto. - Estimar
ajustando uma reta a vs (regressão linear) ou calculando slope entre pontos: melhor usar regressão com todos os pontos. - Estimar
calculando a inclinação global (ou por intervalos e tirar média) e dividir por .
Passo 3
Cálculo dos valores de biomassa total
para cada ponto (faço as contas passo a passo):
Agora calculo
para cada ponto (para obter
pelo ajuste linear de
vs
) — mostro valores aproximados com 4 casas decimais:
Vou ajustar uma reta por regressão linear pelo método dos mínimos quadrados: a inclinação dessa reta é
.
Para pontos uso a fórmula
Para
Calculos auxiliares (mostrando as somas utilizadas):
Substituindo:
Interpretação didática: traçando
em função do tempo teríamos uma reta de inclinação
; o valor calculado usando todos os pontos foi
. Esse é o crescimento específico constante (justificável porque
foi mantido constante).]
Passo 4
Cálculo do rendimento
usando a fórmula prática encontrada:
Posso calcular a inclinação global
entre o início (
,
) e o fim (
,
):
Então
Para ver a variabilidade, calculo
por intervalos consecutivos (mostrando que os valores são consistentes):
Intervalos e cálculos rápidos:
Esses valores individuais oscilam em torno de
; a inclinação global (inicial→final) deu
. Para relatório prático, um valor médio representativo é
.]
Passo 5
Interpretação final e unidades:
-
significa que a biomassa total cresce com taxa específica de cerca de por hora (tempo de duplicação aproximadamente ). -
significa que, em média, cada grama de glicose consumida gerou cerca de gramas de biomassa seca.