Uma cultura bacteriana começa com 4000 bactérias e a população triplica a cada meia hora.
(a) Encontre uma expressão para o número de bactérias depois de t horas.
(b) Encontre o número de bactérias depois de 20 minutos.
(c) Quando a população atingirá 20000 ?

Passo 1

O enunciado diz que uma cultura bacteriana parte de 4000 bactérias e triplica a cada meia hora. O que queremos é:
– (a) a expressão de N(t), o número de bactérias após t horas;
– (b) o valor de N após 20 minutos;
– (c) o instante em que N(t)=20000.
O conteúdo aqui é modelagem de crescimento exponencial, onde a cada intervalo fixo a população é multiplicada por um mesmo fator.

Passo 2

Como a cada meia hora (isto é, a cada 0,5 h) a população é multiplicada por 3, em t horas ocorrem t/0,5=2t desses períodos. Se N_0=4000 for o valor inicial, então
N(t) \;=\; N_0\cdot 3^{2t}
isto é
N(t) = 4000\cdot 3^{2t}.

Passo 3

Para 20 minutos, note que 20 min = \tfrac{20}{60}=\tfrac{1}{3} h. Basta substituir t=\tfrac{1}{3}:
N\Bigl(\tfrac{1}{3}\Bigr) =4000\cdot 3^{2\cdot\frac{1}{3}} =4000\cdot 3^{\frac{2}{3}}.
Numericamente,
3^{\frac{2}{3}}=e^{\frac{2}{3}\ln3}\approx2{,}0801
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N\Bigl(\tfrac{1}{3}\Bigr)\approx4000\times2{,}0801\approx8320\text{ bactérias.}é

Passo 4

Para achar o tempo t em que N(t)=20000, resolvemos
4000\cdot 3^{2t}=20000 \quad\Longrightarrow\quad 3^{2t}=5.
Aplicando logaritmo natural,
2t\ln3 = \ln5 \quad\Longrightarrow\quad t = \frac{\ln5}{2\ln3}.
Numericamente,
t \approx \frac{1{,}6094}{2\times1{,}0986}\approx0{,}733\text{ horas}
que corresponde a
0{,}733\times60\approx44\text{ minutos.}

Resposta

(a) \displaystyle N(t)=4000\cdot 3^{2t}.
(b) N(20\text{ min})=4000\cdot 3^{2/3}\approx8320.
(c) Atinge 20000 bactérias em t=\dfrac{\ln5}{2\ln3}\approx0{,}733 h, ou cerca de 44 min.

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