Polônio- 210 tem uma meia-vida de 140 dias.
(a) Se uma amostra tem massa de 200 mg , encontre uma fórmula para a massa remanescente depois de
dias.
(b) Encontre a massa depois de 100 dias.
(c) Quando a massa será reduzida para 10 gramas?
(d) Esboce o gráfico da função massa.
(a) Se uma amostra tem massa de 200 mg , encontre uma fórmula para a massa remanescente depois de
(b) Encontre a massa depois de 100 dias.
(c) Quando a massa será reduzida para 10 gramas?
(d) Esboce o gráfico da função massa.
Passo 1
O enunciado diz que o polônio-210 tem meia-vida de 140 dias e que iniciamos com
mg. Precisamos usar o modelo de decaimento exponencial, que é conteúdo de equações diferenciais elementares e radioatividade:
onde
se ajusta à meia-vida.
Passo 2
Para achar
, usamos que em
dias a massa cai à metade:
Dividindo por
e aplicando logaritmo:
Passo 3
Substituindo
e
mg no modelo, obtemos em forma usual:
ou, equivalentemente,
Passo 4
Para
dias, basta substituir:
Passo 5
Queremos
mg. Usando a forma
:
Tomando logaritmo:
Passo 6
O gráfico de
é uma curva decrescente que parte de
mg e se aproxima de zero quando
. Vale marcar:
- em
, mg; - em
, mg; - em
, mg;
com uma assíntota horizontal.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d) Gráfico: curva exponencial decrescente com mg, marcando
mg,
mg,
mg, assíntota em
.
(b)
(c)
(d) Gráfico: curva exponencial decrescente com