Polônio- 210 tem uma meia-vida de 140 dias.
(a) Se uma amostra tem massa de 200 mg , encontre uma fórmula para a massa remanescente depois de t dias.
(b) Encontre a massa depois de 100 dias.
(c) Quando a massa será reduzida para 10 gramas?
(d) Esboce o gráfico da função massa.

Passo 1

O enunciado diz que o polônio-210 tem meia-vida de 140 dias e que iniciamos com 200 mg. Precisamos usar o modelo de decaimento exponencial, que é conteúdo de equações diferenciais elementares e radioatividade:
m(t)=m_0e^{-kt}\quad,
onde k se ajusta à meia-vida.

Passo 2

Para achar k, usamos que em t=140 dias a massa cai à metade:
m(140)=m_0e^{-k\cdot140}=\frac{m_0}{2}
Dividindo por m_0 e aplicando logaritmo:
e^{-140k}=\tfrac12 \quad\Rightarrow\quad -140k=\ln\!\bigl(\tfrac12\bigr) \quad\Rightarrow\quad k=\frac{\ln2}{140}.

Passo 3

Substituindo k e m_0=200 mg no modelo, obtemos em forma usual:
m(t)=200\,e^{-\frac{\ln2}{140}\,t}\text{ mg}
ou, equivalentemente,
m(t)=200\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{\frac{t}{140}}\text{ mg}.

Passo 4

Para t=100 dias, basta substituir:
m(100)=200\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{\frac{100}{140}} =200\cdot2^{-\frac{100}{140}} \approx200\cdot2^{-0,7143} \approx200\cdot0,6156 \approx123{,}1\text{ mg}.

Passo 5

Queremos m(t)=10 mg. Usando a forma (\tfrac12)^{t/140}:
200\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{\frac{t}{140}}=10 \quad\Rightarrow\quad \Bigl(\tfrac12\Bigr)^{\frac{t}{140}}=\tfrac{10}{200}=0{,}05
Tomando logaritmo:
\frac{t}{140}\ln\!\bigl(\tfrac12\bigr)=\ln(0{,}05) \quad\Rightarrow\quad t =\;140\;\frac{\ln(0{,}05)}{\ln(\tfrac12)} \approx605{,}3\text{ dias}.

Passo 6

O gráfico de m(t)=200(1/2)^{t/140} é uma curva decrescente que parte de m(0)=200 mg e se aproxima de zero quando t\to+\infty. Vale marcar:
  • em t=140, m=100 mg;
  • em t=280, m=50 mg;
  • em t\approx605, m=10 mg;
    com uma assíntota horizontal m=0.

Resposta

(a) \displaystyle m(t)=200\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{\frac{t}{140}}\text{ mg}.
(b) \displaystyle m(100)\approx123{,}1\text{ mg}.
(c) \displaystyle t\approx605{,}3\text{ dias}.
(d) Gráfico: curva exponencial decrescente com m(0)=200 mg, marcando m(140)=100 mg, m(280)=50 mg, m(605)\approx10 mg, assíntota em m=0.

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