Questão 5)) (2,0) Dado o campo vetorial F(x, y)=(-5 x y, 2 x-7) e a curva C dada por y=2 x^{3}, de x=0 até x=2. Calcule a integral de linha desse campo vetorial.

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha do campo vetorial F(x,y)=(-5xy,\;2x-7) ao longo da curva C definida por y=2x^3, para x variando de 0 a 2. O conteúdo é integral de linha de campo vetorial, que exige parametrizar C, calcular F ao longo da parametrização, fazer o produto escalar com o vetor tangente e, por fim, integrar em t.

Passo 2

Parametrizamos C por
r(t) = (\,t,\;2t^3\,),\quad 0\le t\le 2.
Então o vetor tangente é
r'(t) = \bigl(1,\;6t^2\bigr).

Passo 3

Substituímos na definição de F:
F\bigl(r(t)\bigr) = \bigl(-5\,t\,(2t^3),\;2t-7\bigr) = \bigl(-10t^4,\;2t-7\bigr).
O produto escalar com r'(t) fica
F\bigl(r(t)\bigr)\cdot r'(t) = (-10t^4,\,2t-7)\cdot(1,\,6t^2) = -10t^4 + (2t-7)\,6t^2 = -10t^4 +12t^3 -42t^2.

Passo 4

Agora integramos esse polinômio de t de 0 a 2:
\int_{0}^{2}\bigl(-10t^4 +12t^3 -42t^2\bigr)\,dt = \left[-2t^5 +3t^4 -14t^3\right]_{0}^{2} = \bigl(-2\cdot2^5 +3\cdot2^4 -14\cdot2^3\bigr) = -64 +48 -112 = -128.

Resposta

-128

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