Se uma cultura de bactérias cresce proporcionalmente à quantidade existente em cada instante e se a população duplica ao final de uma hora, quanto crescerá ao fim de duas horas?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos fala sobre o crescimento de uma cultura de bactérias que cresce proporcionalmente à quantidade existente em cada instante. Isso é um clássico de crescimento exponencial. Para resolver, vamos precisar entender essa ideia de proporcionalidade e como a população se comporta com o tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa crescer proporcionalmente à quantidade existente. Isso quer dizer que a taxa de crescimento da população de bactérias é proporcional ao número atual de bactérias. Matemáticamente, isso pode ser representado pela equação diferencial:
onde:
-
é a população de bactérias. -
é o tempo. -
é a constante de proporcionalidade.
Passo 3
Resolvendo essa equação diferencial, a solução geral é:
onde
é a população inicial.
Passo 4
Sabemos que a população duplica ao final de uma hora. Ou seja, quando
,
. Vamos usar essa informação para encontrar a constante
.
Substituindo na equação:
Podemos simplificar dividindo os dois lados por
:
Passo 5
Para encontrar
, tiramos o logaritmo natural dos dois lados:
Então,
.
Passo 6
Agora que temos
, podemos escrever a equação de crescimento com mais detalhes:
Podemos simplificar usando propriedades dos logaritmos:
Passo 7
Queremos saber quanto a população vai crescer ao fim de duas horas, ou seja, encontrar
:
Resposta
Ao fim de duas horas, a população de bactérias crescerá 4 vezes a quantidade inicial.