Se uma cultura de bactérias cresce proporcionalmente à quantidade existente em cada instante e se a população duplica ao final de uma hora, quanto crescerá ao fim de duas horas?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos fala sobre o crescimento de uma cultura de bactérias que cresce proporcionalmente à quantidade existente em cada instante. Isso é um clássico de crescimento exponencial. Para resolver, vamos precisar entender essa ideia de proporcionalidade e como a população se comporta com o tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa crescer proporcionalmente à quantidade existente. Isso quer dizer que a taxa de crescimento da população de bactérias é proporcional ao número atual de bactérias. Matemáticamente, isso pode ser representado pela equação diferencial:
dPdt = kP
onde:
  • é a população de bactérias.
  • é o tempo.
  • é a constante de proporcionalidade.

Passo 3

Resolvendo essa equação diferencial, a solução geral é:
P(t) = P0 cdot e^kt
onde é a população inicial.

Passo 4

Sabemos que a população duplica ao final de uma hora. Ou seja, quando 2P0 = P0 cdot e^k cdot 1 , 2 = e^k . Vamos usar essa informação para encontrar a constante .
Substituindo na equação:
Podemos simplificar dividindo os dois lados por :

Passo 5

Para encontrar ln(2) = k , tiramos o logaritmo natural dos dois lados:
Então, .

Passo 6

Agora que temos P(t) = P0 cdot e^ln(2) cdot t , podemos escrever a equação de crescimento com mais detalhes:
P(t) = P0 cdot 2^t
Podemos simplificar usando propriedades dos logaritmos:

Passo 7

Queremos saber quanto a população vai crescer ao fim de duas horas, ou seja, encontrar P(2) = P0 cdot 2^2 = P0 cdot 4 :

Resposta

Ao fim de duas horas, a população de bactérias crescerá 4 vezes a quantidade inicial.

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