Um fermento cresce a uma taxa proporcional à sua quantidade inicial. Se a quantidade original duplica em duas horas, quantas horas serão necessárias para que a quantidade de fermento triplique?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o crescimento de um fermento que aumenta à uma taxa proporcional à quantidade que já existe. A gente precisa descobrir em quantas horas a quantidade de fermento vai triplicar, sabendo que ela duplica em duas horas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de crescimento exponencial e equações diferenciais simples. Vamos precisar entender como aplicar a fórmula de crescimento proporcional e resolver para o tempo desejado.
Passo 2
Primeiro, vamos modelar o crescimento do fermento. Como a taxa de crescimento é proporcional à quantidade atual, podemos usar a equação diferencial:
Aqui,
é a quantidade de fermento no tempo
, e
é a constante de proporcionalidade que precisamos encontrar.
Passo 3
Vamos resolver essa equação diferencial. Separando as variáveis, temos:
Integrando os dois lados:
Onde
é a constante de integração. Podemos reescrever isso como:
Aqui,
é a quantidade inicial de fermento.
Passo 4
Sabemos que a quantidade inicial duplica em duas horas. Vamos usar essa informação para encontrar
. Se em
horas,
:
Dividindo os dois lados por
:
Agora, aplicamos o logaritmo natural:
Resolvendo para
:
Passo 5
Agora que temos
, queremos saber em quanto tempo a quantidade de fermento triplica, ou seja, quando
. Vamos usar a equação:
Dividindo por
:
Aplicando o logaritmo natural:
Substituindo
pela expressão que encontramos:
Passo 6
Agora, isolamos
:
Calculando os valores numéricos:
Resposta
Serão necessárias aproximadamente 3,17 horas para que a quantidade de fermento triplique.