Um fermento cresce a uma taxa proporcional à sua quantidade inicial. Se a quantidade original duplica em duas horas, quantas horas serão necessárias para que a quantidade de fermento triplique?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o crescimento de um fermento que aumenta à uma taxa proporcional à quantidade que já existe. A gente precisa descobrir em quantas horas a quantidade de fermento vai triplicar, sabendo que ela duplica em duas horas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de crescimento exponencial e equações diferenciais simples. Vamos precisar entender como aplicar a fórmula de crescimento proporcional e resolver para o tempo desejado.

Passo 2

Primeiro, vamos modelar o crescimento do fermento. Como a taxa de crescimento é proporcional à quantidade atual, podemos usar a equação diferencial:
dydt = k cdot y
Aqui, é a quantidade de fermento no tempo , e é a constante de proporcionalidade que precisamos encontrar.

Passo 3

Vamos resolver essa equação diferencial. Separando as variáveis, temos:
dyy = k cdot dt
Integrando os dois lados:
ln(y) = k cdot t + C
Onde y = y0 cdot e^k t é a constante de integração. Podemos reescrever isso como:
Aqui, é a quantidade inicial de fermento.

Passo 4

Sabemos que a quantidade inicial duplica em duas horas. Vamos usar essa informação para encontrar 2y0 = y0 cdot e^k cdot 2 . Se em 2 = e^2k horas, ln(2) = 2k :
k = ln(2)2
Dividindo os dois lados por :
Agora, aplicamos o logaritmo natural:
Resolvendo para :

Passo 5

Agora que temos 3y0 = y0 cdot e^k t , queremos saber em quanto tempo a quantidade de fermento triplica, ou seja, quando 3 = e^k t . Vamos usar a equação:
ln(3) = k t
Dividindo por ln(3) = ln(2)2 cdot t :
Aplicando o logaritmo natural:
Substituindo pela expressão que encontramos:

Passo 6

Agora, isolamos t = 2 cdot ln(3)ln(2) :
t approx 2 cdot 1.09860.6931 approx 2.19720.6931 approx 3.17 horas
Calculando os valores numéricos:

Resposta

Serão necessárias aproximadamente 3,17 horas para que a quantidade de fermento triplique.

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