Uma cultura de bactérias cresce a uma taxa proporcional à quantidade de bactérias presentes em cada instante. Ao fim de 10 minutos cresceu
.
(a) Determine a constante de proporcionalidade.
(b) Quanto tempo levará a cultura para duplicar?
(a) Determine a constante de proporcionalidade.
(b) Quanto tempo levará a cultura para duplicar?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- A quantidade de bactérias em cada instante será chamada de
. - A taxa de crescimento é proporcional à quantidade presente em cada instante.
- Ao fim de 10 minutos a população cresceu
. Ou seja, .
O enunciado pede:
(a) Determinar a constante de proporcionalidade .
(b) Determinar quanto tempo leva para a cultura duplicar (isto é, achar tal que
).
(a) Determinar a constante de proporcionalidade
(b) Determinar quanto tempo leva para a cultura duplicar (isto é, achar
Passo 2
Modelo matemático e significado das variáveis (aula curta e prática).
- Quando a taxa é proporcional à quantidade, o modelo diferencial é
Aqui:
-
é a quantidade de bactérias no instante (unidade arbitrária, por exemplo número de células). -
é o tempo, medido em minutos (já que os dados estão em minutos). -
é a constante de proporcionalidade que queremos (sua unidade será ); se a população cresce, se decresce.
Agora resolvemos a equação diferencial por separação de variáveis:
Integramos ambos os lados (integrais indefinidas):
onde
é constante de integração. Exponenciando:
Escolhendo
(quantidade inicial), tem-se
. Assim a solução geral útil é
Esta fórmula é a que vamos usar: ela diz que a população cresce exponencialmente com taxa
.
Passo 3
Determinar
usando o dado
.
Substituindo na solução:
Substituindo
Como
, obtemos
Aplicando logaritmo natural em ambos os lados:
Agora avaliar numericamente. Primeiro
. Portanto
Arredondando razoavelmente (por exemplo 6 algarismos significativos),
(Notação e interpretação: isto significa que, instantaneamente, a fração da população que cresce por minuto é aproximadamente
por minuto.)
Passo 4
Determinar o tempo de duplicação
(tempo tal que
).
Usando :
Usando
Tomando ln:
Substituindo o valor de
encontrado:
Calculando:
Convertendo para horas e minutos:
, isto é aproximadamente
.
Passo 5
Resumo prático (como lembrar para a prova):
- Modelo:
. - Para achar
a partir de um crescimento percentual em tempo : , logo . - Tempo de duplicação:
.
Vai dar certo na prova — respira fundo, aplica essas fórmulas e faz as contas passo a passo. Tu consegue!
Resposta
(a)
(b)
(b)