Uma cultura de bactérias cresce a uma taxa proporcional à quantidade de bactérias presentes em cada instante. Ao fim de 10 minutos cresceu 3 \%.
(a) Determine a constante de proporcionalidade.
(b) Quanto tempo levará a cultura para duplicar?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • A quantidade de bactérias em cada instante será chamada de N(t).
  • A taxa de crescimento é proporcional à quantidade presente em cada instante.
  • Ao fim de 10 minutos a população cresceu 3\%. Ou seja, N(10)=1,03\,N(0).
O enunciado pede:
(a) Determinar a constante de proporcionalidade k.
(b) Determinar quanto tempo leva para a cultura duplicar (isto é, achar T tal que N(T)=2\,N(0)).

Passo 2

Modelo matemático e significado das variáveis (aula curta e prática).
  • Quando a taxa é proporcional à quantidade, o modelo diferencial é
\frac{dN}{dt} = k\,N(t).
Aqui:
  • N(t) é a quantidade de bactérias no instante t (unidade arbitrária, por exemplo número de células).
  • t é o tempo, medido em minutos (já que os dados estão em minutos).
  • k é a constante de proporcionalidade que queremos (sua unidade será \text{min}^{-1}); se k>0 a população cresce, se k<0 decresce.
    Agora resolvemos a equação diferencial por separação de variáveis:
\frac{dN}{N} = k\,dt.
Integramos ambos os lados (integrais indefinidas):
\int \frac{dN}{N} = \int k\,dt \quad\Rightarrow\quad \ln N = kt + C,
onde C é constante de integração. Exponenciando:
N(t)=e^{C}e^{kt}.
Escolhendo N(0)=N_0 (quantidade inicial), tem-se e^{C}=N_0. Assim a solução geral útil é
N(t)=N_0 e^{kt}.
Esta fórmula é a que vamos usar: ela diz que a população cresce exponencialmente com taxa k.

Passo 3

Determinar k usando o dado N(10)=1,03\,N_0.
Substituindo t=10 na solução:
N(10)=N_0 e^{10k}.
Como N(10)=1,03\,N_0, obtemos
1,03 = e^{10k}.
Aplicando logaritmo natural em ambos os lados:
\ln(1,03) = 10k \quad\Rightarrow\quad k = \frac{1}{10}\ln(1,03).
Agora avaliar numericamente. Primeiro \ln(1,03)\approx 0,0295588. Portanto
k \approx \frac{0,0295588}{10}=0,00295588\\ \text{min}^{-1}.
Arredondando razoavelmente (por exemplo 6 algarismos significativos),
k \approx 0,00295588\\ \text{min}^{-1}.
(Notação e interpretação: isto significa que, instantaneamente, a fração da população que cresce por minuto é aproximadamente 0,2956\% por minuto.)

Passo 4

Determinar o tempo de duplicação T (tempo tal que N(T)=2N_0).
Usando N(t)=N_0 e^{kt}:
2 = e^{kT}.
Tomando ln:
\ln 2 = kT \quad\Rightarrow\quad T = \frac{\ln 2}{k}.
Substituindo o valor de k encontrado:
T \approx \frac{0,693147}{0,00295588}\\ \text{min}.
Calculando:
T \approx 234,496\\ \text{min}.
Convertendo para horas e minutos: 234,496\\ \text{min} = 3\\ \text{h} + 54,496\\ \text{min}, isto é aproximadamente 3\\ \text{h}\\\ 54\\ \text{min}\\\ 30\\ \text{s}.

Passo 5

Resumo prático (como lembrar para a prova):
  • Modelo: N(t)=N_0 e^{kt}.
  • Para achar k a partir de um crescimento percentual p\% em tempo t_0: 1+\tfrac{p}{100}=e^{k t_0}, logo k=\dfrac{1}{t_0}\ln\!\big(1+\tfrac{p}{100}\big).
  • Tempo de duplicação: T_{\text{dup}}=\dfrac{\ln 2}{k}.
    Vai dar certo na prova — respira fundo, aplica essas fórmulas e faz as contas passo a passo. Tu consegue!

Resposta

(a) k=\dfrac{1}{10}\ln(1,03)\approx 0,00295588\\ \text{min}^{-1}
(b) T=\dfrac{\ln 2}{k}\approx 234,496\\ \text{min}\approx 3\\ \text{h}\\\ 54\\ \text{min}\\\ 30\\ \text{s}

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