Em uma comunidade de 100 pessoas, inicialmente, existe 1 pessoa infectada com um vírus. A velocidade de propagação do vírus é proporcional a
vezes o número de pessoas infectadas vezes o número de pessoas não infectadas. Após 1 dia,
da comunidade está contaminada.
(a) Após 2 dias, quantas pessoas estarão contaminadas?
(b) Se
é o número de pessoas contaminadas no instante
, determine
.
(a) Após 2 dias, quantas pessoas estarão contaminadas?
(b) Se
Passo 1
O enunciado dá uma comunidade com
pessoas e as seguintes informações:
- Inicialmente há uma pessoa infectada:
. - A velocidade de propagação é proporcional a
vezes o número de infectados vezes o número de não infectados. - Após
dia, da comunidade está infectada, ou seja .
O enunciado pede:
(a) calcular , o número de pessoas infectadas após
dias;
(b) determinar .
(a) calcular
(b) determinar
Passo 2
Traduzindo a proporcionalidade para uma equação diferencial: a taxa de variação de
é proporcional a
vezes o número de não infectados
. Assim introduzimos a constante positiva
e obtemos a equação diferencial
Aqui
é o número de pessoas infectadas no tempo
, e
é a constante de proporcionalidade que mede a rapidez da propagação.
Passo 3
A equação é separável. Escrevemos
Para integrar o lado esquerdo, fazemos a decomposição em frações parciais. Observação útil:
pois ao somar os dois termos do parêntese obtemos
, e multiplicando por
recuperamos o integrando original.
Passo 4
Integramos ambos os lados:
Usando a decomposição:
Integrando explicitamente:
Multiplicando por
e exponenciando, obtemos a forma explícita (com constante
):
onde
é uma constante positiva determinada pelas condições iniciais.
Passo 5
Usamos
para achar
:
logo
.
Usamos
para determinar
. Substituindo
e
na relação geral:
Portanto
e
Passo 6
Agora calculamos
. Da fórmula geral:
Como
, temos
. Logo
Resolvendo para
:
Comentário prático: o modelo é contínuo, por isso pode dar um número não inteiro; na interpretação real arredonda-se, mas matematicamente o resultado é
.
Passo 7
Para o limite quando
, observe a forma
Como
, temos
quando
. Assim o quociente tende a
, o que implica
. Alternativamente, escrevendo explicitamente
fica claro que
quando
.
Resposta
(a)
pessoas
(b)
(b)