Em uma comunidade de 100 pessoas, inicialmente, existe 1 pessoa infectada com um vírus. A velocidade de propagação do vírus é proporcional a k vezes o número de pessoas infectadas vezes o número de pessoas não infectadas. Após 1 dia, \frac{1}{4} da comunidade está contaminada.
(a) Após 2 dias, quantas pessoas estarão contaminadas?
(b) Se p(t) é o número de pessoas contaminadas no instante t, determine \lim _{t \rightarrow \infty} p(t).

Passo 1

O enunciado dá uma comunidade com 100 pessoas e as seguintes informações:
  • Inicialmente há uma pessoa infectada: p(0)=1.
  • A velocidade de propagação é proporcional a k vezes o número de infectados vezes o número de não infectados.
  • Após 1 dia, \tfrac{1}{4} da comunidade está infectada, ou seja p(1)=25.
O enunciado pede:
(a) calcular p(2), o número de pessoas infectadas após 2 dias;
(b) determinar \displaystyle \lim_{t\to\infty} p(t).

Passo 2

Traduzindo a proporcionalidade para uma equação diferencial: a taxa de variação de p(t) é proporcional a p(t) vezes o número de não infectados 100-p(t). Assim introduzimos a constante positiva k e obtemos a equação diferencial
\frac{dp}{dt}=k\,p(100-p).
Aqui p(t) é o número de pessoas infectadas no tempo t, e k é a constante de proporcionalidade que mede a rapidez da propagação.

Passo 3

A equação é separável. Escrevemos
\frac{dp}{p(100-p)}=k\,dt.
Para integrar o lado esquerdo, fazemos a decomposição em frações parciais. Observação útil:
\frac{1}{p(100-p)}=\frac{1}{100}\left(\frac{1}{p}+\frac{1}{100-p}\right),
pois ao somar os dois termos do parêntese obtemos \dfrac{100}{p(100-p)}, e multiplicando por 1/100 recuperamos o integrando original.

Passo 4

Integramos ambos os lados:
\int \frac{dp}{p(100-p)}=\int k\,dt.
Usando a decomposição:
\int \frac{1}{100}\left(\frac{1}{p}+\frac{1}{100-p}\right)dp = kt + C.
Integrando explicitamente:
\frac{1}{100}\big(\ln p - \ln(100-p)\big)=kt + C.
Multiplicando por 100 e exponenciando, obtemos a forma explícita (com constante C_1=e^{100C}):
\ln\!\left(\frac{p}{100-p}\right)=100kt + C_1'\quad\Longrightarrow\quad \frac{p}{100-p}=C\,e^{100kt},
onde C é uma constante positiva determinada pelas condições iniciais.

Passo 5

Usamos p(0)=1 para achar C:
\frac{1}{100-1}=\frac{1}{99}=C\,e^{0}=C,
logo C=\dfrac{1}{99}.
Usamos p(1)=25 para determinar k. Substituindo t=1 e p(1)=25 na relação geral:
\frac{25}{100-25}=\frac{25}{75}=\frac{1}{3}=\frac{1}{99}\,e^{100k}.
Portanto
e^{100k}=33
e
k=\frac{\ln 33}{100}.

Passo 6

Agora calculamos p(2). Da fórmula geral:
\frac{p(2)}{100-p(2)}=\frac{1}{99}\,e^{100k\cdot 2}.
Como e^{100k}=33, temos e^{100k\cdot 2}=33^2=1089. Logo
\frac{p(2)}{100-p(2)}=\frac{1089}{99}=11.
Resolvendo para p(2):
p(2)=11(100-p(2))=1100-11p(2)\quad\Rightarrow\quad 12p(2)=1100,
p(2)=\frac{1100}{12}=\frac{275}{3}\approx 91,666\ldots
Comentário prático: o modelo é contínuo, por isso pode dar um número não inteiro; na interpretação real arredonda-se, mas matematicamente o resultado é \dfrac{275}{3}.

Passo 7

Para o limite quando t\to\infty, observe a forma
\frac{p(t)}{100-p(t)}=\frac{1}{99}\,e^{100kt}.
Como k>0, temos e^{100kt}\to\infty quando t\to\infty. Assim o quociente tende a +\infty, o que implica p(t)\to 100. Alternativamente, escrevendo explicitamente
p(t)=\frac{100\cdot \tfrac{1}{99} e^{100kt}}{1+\tfrac{1}{99} e^{100kt}},
fica claro que p(t)\to 100 quando t\to\infty.

Resposta

(a) p(2)=\dfrac{275}{3} pessoas \approx 91,666\ldots
(b) \displaystyle \lim_{t\to\infty} p(t)=100

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