Um tanque com 50 litros de capacidade contém inicialmente 10 litros de água. Adiciona-se ao tanque uma solução de salmoura com 1 kg de sal por litro, à razão de 4 litros por minuto, enquanto a mistura escoa à razão de 2 litros por minuto. Determine:
(a) O tempo necessário para que ocorra o transbordamento.
(b) A quantidade de sal presente no tanque por ocasião do transbordamento.
(a) O tempo necessário para que ocorra o transbordamento.
(b) A quantidade de sal presente no tanque por ocasião do transbordamento.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas e fornece estes dados:
- Capacidade do tanque:
litros. - Volume inicial de água no tanque:
litros. - Entra solução com concentração de
kg de sal por litro, à razão de litros por minuto. Ou seja, taxa de entrada de sal é kg/min (porque ). - A mistura escoa do tanque à razão de
litros por minuto.
As perguntas são:
(a) Qual o tempo necessário para que ocorra o transbordamento do tanque?
(b) Qual a quantidade de sal presente no tanque no instante do transbordamento?
Passo 2
Determinar o tempo de transbordamento usando o balanço de volumes (sem ainda mexer no sal). Defino
como o volume (em litros) no instante
(minutos), com
no início. Taxa de entrada de volume:
. Taxa de saída:
. Logo a taxa líquida de variação do volume é
Integrando com a condição inicial
obtém-se
O transbordamento ocorre quando
. Então resolvo
Portanto o tanque transborda em
minutos.
Passo 3
Agora tratamos da massa de sal. Defino
= massa de sal no tanque (em kg) no instante
. Vou montar a equação de balanço de sal, explicando cada termo:
- Entrada de sal (kg/min): concentração de entrada
vazão de entrada . - Saída de sal (kg/min): concentração da mistura no tanque
vazão de saída. A concentração no tanque é (kg por litro), e a vazão de saída é . Então taxa de saída é .
Assim o balanço diferencial é
Sabendo que
, a equação fica
Passo 4
Transformo a equação para a forma linear padrão e vou resolver passo a passo. Reescrevo:
Simplifico o coeficiente usando
, então
Isto é uma equação linear de primeira ordem do tipo
, com
e
.
Passo 5
Resolver por fator integrante (integrating factor). O fator integrante é
onde escolha da constante multiplicativa não altera a solução. Multiplicando a equação por
obtém-se
O lado esquerdo é a derivada de
, isto é
Passo 6
Integrar ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração. Uso a condição inicial
(o tanque inicialmente contém água pura, sem sal), então
logo
. Portanto
Isolando
:
Passo 7
Calcular a quantidade de sal no instante do transbordamento
min. Substituo
na expressão:
A unidade é kg. Então há
kg de sal no tanque quando ocorrer o transbordamento.