Um tanque com 50 litros de capacidade contém inicialmente 10 litros de água. Adiciona-se ao tanque uma solução de salmoura com 1 kg de sal por litro, à razão de 4 litros por minuto, enquanto a mistura escoa à razão de 2 litros por minuto. Determine:
(a) O tempo necessário para que ocorra o transbordamento.
(b) A quantidade de sal presente no tanque por ocasião do transbordamento.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas e fornece estes dados:
  • Capacidade do tanque: 50 litros.
  • Volume inicial de água no tanque: 10 litros.
  • Entra solução com concentração de 1 kg de sal por litro, à razão de 4 litros por minuto. Ou seja, taxa de entrada de sal é 4 kg/min (porque 1\\ \text{kg/L}\times 4\\ \text{L/min}=4\\ \text{kg/min}).
  • A mistura escoa do tanque à razão de 2 litros por minuto.
    As perguntas são:
    (a) Qual o tempo necessário para que ocorra o transbordamento do tanque?
    (b) Qual a quantidade de sal presente no tanque no instante do transbordamento?

Passo 2

Determinar o tempo de transbordamento usando o balanço de volumes (sem ainda mexer no sal). Defino V(t) como o volume (em litros) no instante t (minutos), com t=0 no início. Taxa de entrada de volume: 4\\ \text{L/min}. Taxa de saída: 2\\ \text{L/min}. Logo a taxa líquida de variação do volume é
\frac{dV}{dt}=4-2=2\\ \text{L/min}.
Integrando com a condição inicial V(0)=10 obtém-se
V(t)=10+2t.
O transbordamento ocorre quando V(t)=50. Então resolvo
10+2t=50 \quad\Rightarrow\quad 2t=40 \quad\Rightarrow\quad t=20.
Portanto o tanque transborda em 20 minutos.

Passo 3

Agora tratamos da massa de sal. Defino Q(t) = massa de sal no tanque (em kg) no instante t. Vou montar a equação de balanço de sal, explicando cada termo:
  • Entrada de sal (kg/min): concentração de entrada \times vazão de entrada =1\\ \text{kg/L}\times 4\\ \text{L/min}=4\\ \text{kg/min}.
  • Saída de sal (kg/min): concentração da mistura no tanque \times vazão de saída. A concentração no tanque é \dfrac{Q(t)}{V(t)} (kg por litro), e a vazão de saída é 2\\ \text{L/min}. Então taxa de saída é \dfrac{Q(t)}{V(t)}\cdot 2.
    Assim o balanço diferencial é
\frac{dQ}{dt}=\text{entrada} - \text{saída} = 4 - \frac{2Q}{V(t)}.í
Sabendo que V(t)=10+2t, a equação fica
\frac{dQ}{dt}=4-\frac{2Q}{10+2t}.

Passo 4

Transformo a equação para a forma linear padrão e vou resolver passo a passo. Reescrevo:
\frac{dQ}{dt}+\frac{2}{10+2t}\,Q=4.
Simplifico o coeficiente usando \dfrac{2}{10+2t}=\dfrac{1}{5+t}, então
\frac{dQ}{dt}+\frac{1}{5+t}\,Q=4.
Isto é uma equação linear de primeira ordem do tipo \dfrac{dQ}{dt}+p(t)Q=g(t), com p(t)=\dfrac{1}{5+t} e g(t)=4.

Passo 5

Resolver por fator integrante (integrating factor). O fator integrante é
\mu(t)=\exp\left(\int p(t)\,dt\right)=\exp\left(\int \frac{1}{5+t}\,dt\right)=\exp\big(\ln(5+t)\big)=5+t,
onde escolha da constante multiplicativa não altera a solução. Multiplicando a equação por \mu(t) obtém-se
(5+t)\frac{dQ}{dt}+\frac{5+t}{5+t}\,Q=(5+t)\cdot 4.
O lado esquerdo é a derivada de (5+t)Q, isto é
\frac{d}{dt}\big[(5+t)Q(t)\big]=4(5+t).

Passo 6

Integrar ambos os lados em relação a t:
(5+t)Q(t)=\int 4(5+t)\,dt =4\left(5t+\frac{t^2}{2}\right)+C =20t+2t^2+C,
onde C é a constante de integração. Uso a condição inicial Q(0)=0 (o tanque inicialmente contém água pura, sem sal), então
(5+0)Q(0)=5\cdot 0 =0 = 20\cdot 0 + 2\cdot 0^2 + C,
logo C=0. Portanto
(5+t)Q(t)=20t+2t^2.
Isolando Q(t):
Q(t)=\frac{20t+2t^2}{5+t}=\frac{2t(10+t)}{5+t}.

Passo 7

Calcular a quantidade de sal no instante do transbordamento t=20 min. Substituo t=20 na expressão:
Q(20)=\frac{20\cdot 20 + 2\cdot 20^2}{5+20}=\frac{400+800}{25}=\frac{1200}{25}=48.
A unidade é kg. Então há 48 kg de sal no tanque quando ocorrer o transbordamento.

Resposta

t=20\\ \text{min}
Q(20)=48\\ \text{kg}

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