Determine o máximo e o mínimo (absolutos) de z=f(x ; y) no conjunto D indicado:
(i) f(x, y)=x y^{2}+2 x+y^{4}+1, D=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: x^{2}+y^{2} \leq 1\right\}
Passo 1
O enunciado dá a função f e o domínio D:
Função: f(x,y)=x y^{2}+2 x+y^{4}+1.
Domínio: D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\; x^{2}+y^{2}\leq 1\}, ou seja, o disco fechado de raio 1 centrado na origem.
O que é pedido:
Determinar o máximo absoluto de z=f(x,y) em D e o ponto onde ele ocorre.
Determinar o mínimo absoluto de z=f(x,y) em D e o ponto onde ele ocorre.
Informações relevantes dadas:
f é um polinômio (portanto contínua).
D é compacto (fechado e limitado), então f atinge máximo e mínimo absolutos em D.
Passo 2
Estratégia de resolução (passo a passo do raciocínio):
Como f é contínua em um conjunto compacto, extremos absolutos existem.
Os candidatos a extremos são:
Pontos críticos no interior do disco (x^{2}+y^{2}<1): resolver \nabla f=0.
Pontos críticos sobre a fronteira (x^{2}+y^{2}=1): usar multiplicadores de Lagrange (método canônico para extrema condicionada) ou parametrizar a fronteira. Aqui usaremos multiplicadores de Lagrange porque dá equações algébricas simples para este problema.
Avaliar f em todos os candidatos e comparar valores para decidir máximos e mínimos absolutos.
Passo 3
Cálculo dos pontos críticos no interior (gradiente igual a zero).
Calcular as derivadas parciais:
Para ter um ponto crítico no interior é necessário resolver o sistema
y^{2}+2=0,\qquad 2xy+4y^{3}=0.
A primeira equação dá y^{2}=-2, o que é impossível em \mathbb{R}. Portanto não há pontos críticos no interior do disco. Logo todos os extremos ocorrerão na fronteira x^{2}+y^{2}=1.
Passo 4
Aplicando multiplicadores de Lagrange na fronteira.
A fronteira é dada por g(x,y)=x^{2}+y^{2}-1=0. Pelo método de Lagrange procuramos \lambda tal que
\nabla f = \lambda \nabla g.
Escrevendo as componentes:
y^{2}+2 = 2\lambda x, \tag{1}
2xy+4y^{3} = 2\lambda y, \tag{2}
x^{2}+y^{2}=1. \tag{3}
Vamos resolver (1),(2),(3). Observação: devemos tratar separadamente os casos em que y=0 e y\neq 0 porque (2) tem y fatorando.
Passo 5
Caso y=0 (na fronteira).
Se y=0 então da restrição (3) vem x^{2}=1, logo x=\pm 1. Avaliar f nesses pontos:
Em (1,0):f(1,0)=1\cdot 0^{2}+2\cdot 1+0^{4}+1=2+1=3.
Em (-1,0):f(-1,0)=(-1)\cdot 0^{2}+2(-1)+0^{4}+1=-2+1=-1.
Anotar candidatos: (1,0) com f=3 e (-1,0) com f=-1.
Passo 6
Caso y\neq 0.
Divida a equação (2) por 2y (válido pois y\neq 0):
x+2y^{2}=\lambda. \tag{4}
Da equação (1) também podemos escrever (se x puder ser zero tratamos depois):
\lambda=\frac{y^{2}+2}{2x}. \tag{5}
Igualando (4) e (5):
x+2y^{2}=\frac{y^{2}+2}{2x}.
Multiplicar por 2x:
2x^{2}+4xy^{2}=y^{2}+2.
Agora usar a restrição x^{2}=1-y^{2} para eliminar x^{2}:
f\!\big(\tfrac{3}{4},\pm\tfrac{\sqrt{7}}{4}\big)=\dfrac{773}{256}\approx 3{,}0195.
(Se quiser verificar outros pontos da fronteira, estes são suficientes porque multiplicadores de Lagrange deram todos os pontos críticos condicionados.)
Passo 8
Comparação e conclusão:
O maior valor entre os candidatos é \dfrac{773}{256} (maior que 3), obtido em \left(\dfrac{3}{4},\pm\dfrac{\sqrt{7}}{4}\right). Logo este é o máximo absoluto de f em D.
O menor valor entre os candidatos é -1, obtido em (-1,0). Não há pontos críticos no interior, então este é o mínimo absoluto em D.
Resposta
Máximo absoluto: \dfrac{773}{256} atingido em \left(\dfrac{3}{4},\pm\dfrac{\sqrt{7}}{4}\right).