Uma cultura de bactérias cresce a uma taxa proporcional à quantidade presente a cada instante de termpa. Sabe-se que, inicialmente, há 200 de cultura e que, após 16 minutos, cresceu 12 %.
Quanto tempo levará para triplicar a cultura?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos uma cultura de bactérias que cresce de forma proporcional à quantidade que existe a cada instante. Isso significa que quanto mais bactérias tem, mais rápido elas crescem. Inicialmente, temos 200 bactérias, e depois de 16 minutos, esse número aumentou 12%, chegando a 224 bactérias. A pergunta é: quanto tempo vai levar para essa cultura triplicar, ou seja, chegar a 600 bactérias?
Para resolver isso, vamos usar a fórmula de crescimento exponencial, que é adequada quando o crescimento é proporcional à quantidade presente. Vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais simples e exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula básica do crescimento exponencial:
N(t) = N0 times e^kt
Aqui:
  • $ N(t) $ é a quantidade de bactérias no tempo $ t $.
  • $ N_0 $ é a quantidade inicial de bactérias.
  • $ k $ é a constante de crescimento.
  • $ t $ é o tempo.
Queremos encontrar o valor de $ k $ usando as informações que temos.

Passo 3

Sabemos que inicialmente $ N_0 = 200 $ bactérias. Depois de 16 minutos, a quantidade aumenta 12%, então:
N0 = 200
Agora, vamos substituir esses valores na fórmula do crescimento exponencial para encontrar $ k $:
N(16) = 200 times 1,12 = 224

Passo 4

Vamos resolver para $ k $. Primeiro, dividimos ambos os lados por 200:
k
224200 = e^16k
Agora, aplicamos o logaritmo natural (ln) em ambos os lados para isolar $ k $:
1,12 = e^16k
Então:
k

Passo 5

Vamos calcular o valor de $ k $ usando uma calculadora:
k
ln(1,12) approx 0,1133
k approx 0,113316

Passo 6

Agora que temos $ k $, podemos usar a fórmula novamente para encontrar o tempo necessário para triplicar a cultura, ou seja, $ N(t) = 600 $:
k
Vamos resolver para $ t $.

Passo 7

Dividimos ambos os lados por 200:
600200 = e^0,00708t
3 = e^0,00708t
Aí, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
ln(3) = 0,00708t
Então:
t = ln(3)0,00708

Passo 8

Calculando os valores:
ln(3) approx 1,0986
t approx 1,09860,00708
t approx 155,17

Resposta

Vai levar aproximadamente 155,17 minutos para a cultura de bactérias triplicar.

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