Uma cultura de bactérias cresce a uma taxa proporcional à quantidade presente a cada instante de termpa. Sabe-se que, inicialmente, há 200 de cultura e que, após 16 minutos, cresceu
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Quanto tempo levará para triplicar a cultura?
Quanto tempo levará para triplicar a cultura?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos uma cultura de bactérias que cresce de forma proporcional à quantidade que existe a cada instante. Isso significa que quanto mais bactérias tem, mais rápido elas crescem. Inicialmente, temos 200 bactérias, e depois de 16 minutos, esse número aumentou 12%, chegando a 224 bactérias. A pergunta é: quanto tempo vai levar para essa cultura triplicar, ou seja, chegar a 600 bactérias?
Para resolver isso, vamos usar a fórmula de crescimento exponencial, que é adequada quando o crescimento é proporcional à quantidade presente. Vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais simples e exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula básica do crescimento exponencial:
Aqui:
- $ N(t) $ é a quantidade de bactérias no tempo $ t $.
- $ N_0 $ é a quantidade inicial de bactérias.
- $ k $ é a constante de crescimento.
- $ t $ é o tempo.
Queremos encontrar o valor de $ k $ usando as informações que temos.
Passo 3
Sabemos que inicialmente $ N_0 = 200 $ bactérias. Depois de 16 minutos, a quantidade aumenta 12%, então:
Agora, vamos substituir esses valores na fórmula do crescimento exponencial para encontrar $ k $:
Passo 4
Vamos resolver para $ k $. Primeiro, dividimos ambos os lados por 200:
Agora, aplicamos o logaritmo natural (ln) em ambos os lados para isolar $ k $:
Então:
Passo 5
Vamos calcular o valor de $ k $ usando uma calculadora:
Passo 6
Agora que temos $ k $, podemos usar a fórmula novamente para encontrar o tempo necessário para triplicar a cultura, ou seja, $ N(t) = 600 $:
Vamos resolver para $ t $.
Passo 7
Dividimos ambos os lados por 200:
Aí, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
Então:
Passo 8
Calculando os valores:
Resposta
Vai levar aproximadamente 155,17 minutos para a cultura de bactérias triplicar.