Determine a solução do problema de valor inicial abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial! O enunciado nos dá uma equação do tipo $ x y^{\prime} - 3 y = x^{4} e^{x} $ com a condição inicial $ y(1) = 2e $. Para resolver isso, vamos usar o método das equações lineares de primeira ordem. Isso envolve reorganizar a equação e aplicar um fator integrante para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para o formato padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem: $ y’ + P(x) y = Q(x) $. Para isso, dividimos ambos os lados da equação original por $ x $:
Aqui, identificamos que $ P(x) = -\frac{3}{x} $ e $ Q(x) = x^{3} e^{x} $.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante $ \mu(x) $, que é dado por:
Substituindo $ P(x) $:
Esse fator vai nos ajudar a simplificar a equação para facilitar a integração.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante $ \mu(x) = x^{-3} $:
Simplificando:
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto $ \mu(x) y $:
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a $ x $:
A integral da derivada é simplesmente $ x^{-3} y $, e a integral do lado direito é $ e^{x} + C $, onde $ C $ é a constante de integração:
Passo 6
Resolvemos para $ y $ multiplicando ambos os lados por $ x^{3} $:
Essa é a solução geral da equação diferencial.
Passo 7
Agora, aplicamos a condição inicial $ y(1) = 2e $ para encontrar o valor de $ C $:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é: