Determine a solução do problema de valor incial abaixo:
r 2 y^prime prime-12 y^prime+18 y=0 y(0)=1 y^prime(0)=2

Passo 1

O enunciado pede a solução do problema de valor inicial para a EDO de segunda ordem com coeficientes constantes 2y’‘−12y’+18y=0, sujeita a y(0)=1 e y’(0)=2. Vamos usar teoria de equações lineares homogêneas de segunda ordem.

Passo 2

Formamos a equação característica associada substituindo y∼e^{rt}. Assim,
2r^2 - 12r + 18 = 0
Resolvendo dividindo por 2:
r^2 - 6r + 9 = 0
Percebemos que é um polinômio quadrado perfeito, logo temos raiz dupla
r = 3 (mu

Passo 3

Para raiz dupla r=3, a solução geral é dada por
y(t) = (C1 + C2,t)e^3t

Passo 4

Impondo a condição inicial y(0)=1:
y(0) = (C1 + C2cdot0)e^0 = C1 = 1

Passo 5

Calculamos a derivada para usar y’(0)=2:
y'(t) = ddtl[(C1 + C2 t)e^3tr] = (C2 + 3C1 + 3C2 t)e^3t
Logo,
y'(0) = (C2 + 3C1)e^0 = C2 + 3cdot1 = 2 implies C2 = -1

Resposta

y(t)=(1 - t)e^3t

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