Determine as trajetórias ortogonais da família de curvas:
a)
a)
Passo 1
O enunciado pede encontrar as trajetórias ortogonais da família de curvas definidas por
. Vamos usar derivação implícita e depois resolver a equação diferencial das ortogonais.
Passo 2
Derivando implicitamente em relação a
, temos
. Assim, o declive da família original é
.
Passo 3
Para que duas curvas sejam ortogonais, o produto de seus declives deve ser
. Logo, a declividade das trajetórias ortogonais satisfaz
.
Passo 4
Obtivemos a equação diferencial
, que é separável. Separamos variáveis e integramos:
Separamos e integramos:
Separamos e integramos:
Isso dá
, ou seja
.
Passo 5
Exponentiando, concluímos que as trajetórias ortogonais são dadas por
, com
constante.
Resposta
As trajetórias ortogonais são a família de curvas
, onde
é constante.