Determine as trajetórias ortogonais da família de curvas:
a) x^2-y^2=c^2

Passo 1

O enunciado pede encontrar as trajetórias ortogonais da família de curvas definidas por x^2 - y^2 = c^2. Vamos usar derivação implícita e depois resolver a equação diferencial das ortogonais.

Passo 2

Derivando implicitamente em relação a x, temos 2x - 2y,y' = 0. Assim, o declive da família original é y' = xy.

Passo 3

Para que duas curvas sejam ortogonais, o produto de seus declives deve ser -1. Logo, a declividade das trajetórias ortogonais satisfaz y'ort = -1y' = -1x/y = -yx.

Passo 4

Obtivemos a equação diferencial dydx = -yx, que é separável. Separamos variáveis e integramos:
Separamos e integramos:
integral 1y ,dy = -integral 1x ,dx
Isso dá ln|y| = -ln|x| + ln|K|, ou seja ln|x y| = ln|K|.

Passo 5

Exponentiando, concluímos que as trajetórias ortogonais são dadas por x y = K, com K constante.

Resposta

As trajetórias ortogonais são a família de curvas x y = K, onde K é constante.

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