Em uma cultura, há inicialmente 1000 bactérias. Uma hora depois, o número de bactérias passa a ser 1500. Se a taxa de crescimento é proporcional ao número de bactérias presentes, d Nd t=k N determine:
a) Encontre uma expressão para um número de bactérias depois de t horas.
c) O tempo necessário para que o número de bactérias quadruplique. (Escrever a resposta em hora / min / s )

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma cultura com inicialmente 1000 bactérias, e depois de uma hora esse número cresce para 1500. A taxa de crescimento das bactérias é proporcional ao número presente, o que significa que a variação do número de bactérias ao longo do tempo segue a equação diferencial dNdt = kN. Vamos usar isso para encontrar uma expressão que nos diga quantas bactérias teremos depois de t horas e também descobrir quanto tempo leva para esse número quadruplicar.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial dNdt = kN. Essa é uma equação diferencial simples que descreve crescimento exponencial. Para resolver, separamos as variáveis:
dNN = k , dt

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral de 1N em relação a N é ln N, e a integral de k em relação a t é kt + C, onde C é a constante de integração.
ln N = kt + C

Passo 4

Para resolver C, usamos a condição inicial. Sabemos que quando t = 0, N = 1000. Substituindo esses valores na equação:
ln 1000 = k cdot 0 + C implies C = ln 1000

Passo 5

Substituindo C de volta na equação original:
ln N = kt + ln 1000
Agora, vamos isolar N. Para isso, aplicamos a função exponencial em ambos os lados:
N = e^kt + ln 1000 = e^kt cdot e^ln 1000 = 1000 cdot e^kt
Então, a expressão para o número de bactérias após t horas é:
N(t) = 1000 cdot e^kt

Passo 6

Para encontrar o valor de k, usamos a informação de que após 1 hora, o número de bactérias é 1500. Substituímos t = 1 e N = 1500 na equação:
1500 = 1000 cdot e^k cdot 1 implies 15001000 = e^k implies 1,5 = e^k

Passo 7

Agora, vamos resolver para k. Tirando o logaritmo natural de ambos os lados:
ln 1,5 = k implies k = ln 1,5 approx 0,4055

Passo 8

Com o valor de k encontrado, podemos escrever a expressão completa para N(t):
N(t) = 1000 cdot e^0,4055t

Passo 9

Agora, para a parte c, queremos saber quanto tempo leva para o número de bactérias quadruplicar. Isso significa que N(t) = 4000. Vamos usar a equação que encontramos:
4000 = 1000 cdot e^0,4055t
Dividindo ambos os lados por 1000:
4 = e^0,4055t

Passo 10

Agora, vamos resolver para t. Tirando o logaritmo natural de ambos os lados:
ln 4 = 0,4055t implies t = ln 40,4055 approx 1,38630,4055 approx 3,414 horas
Convertendo 0,414 horas para minutos e segundos:
0,414 horas times 60 approx 24,84 minutos
0,84 minutos times 60 approx 50,4 segundos

Resposta

O número de bactérias depois de t horas é dado por N(t) = 1000 cdot e^0,4055t. O tempo necessário para que o número de bactérias quadruplica é aproximadamente 3 horas, 25 minutos e 50 segundos.

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