Em uma cultura, há inicialmente 1000 bactérias. Uma hora depois, o número de bactérias passa a ser 1500. Se a taxa de crescimento é proporcional ao número de bactérias presentes,
determine:
a) Encontre uma expressão para um número de bactérias depois de
horas.
c) O tempo necessário para que o número de bactérias quadruplique. (Escrever a resposta em hora
)
a) Encontre uma expressão para um número de bactérias depois de
c) O tempo necessário para que o número de bactérias quadruplique. (Escrever a resposta em hora
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma cultura com inicialmente 1000 bactérias, e depois de uma hora esse número cresce para 1500. A taxa de crescimento das bactérias é proporcional ao número presente, o que significa que a variação do número de bactérias ao longo do tempo segue a equação diferencial
. Vamos usar isso para encontrar uma expressão que nos diga quantas bactérias teremos depois de
horas e também descobrir quanto tempo leva para esse número quadruplicar.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial
. Essa é uma equação diferencial simples que descreve crescimento exponencial. Para resolver, separamos as variáveis:
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral de
em relação a
é
, e a integral de
em relação a
é
, onde
é a constante de integração.
Passo 4
Para resolver
, usamos a condição inicial. Sabemos que quando
,
. Substituindo esses valores na equação:
Passo 5
Substituindo
de volta na equação original:
Agora, vamos isolar
. Para isso, aplicamos a função exponencial em ambos os lados:
Então, a expressão para o número de bactérias após
horas é:
Passo 6
Para encontrar o valor de
, usamos a informação de que após 1 hora, o número de bactérias é 1500. Substituímos
e
na equação:
Passo 7
Agora, vamos resolver para
. Tirando o logaritmo natural de ambos os lados:
Passo 8
Com o valor de
encontrado, podemos escrever a expressão completa para
:
Passo 9
Agora, para a parte c, queremos saber quanto tempo leva para o número de bactérias quadruplicar. Isso significa que
. Vamos usar a equação que encontramos:
Dividindo ambos os lados por 1000:
Passo 10
Agora, vamos resolver para
. Tirando o logaritmo natural de ambos os lados:
Convertendo 0,414 horas para minutos e segundos:
Resposta
O número de bactérias depois de
horas é dado por
. O tempo necessário para que o número de bactérias quadruplica é aproximadamente 3 horas, 25 minutos e 50 segundos.