Um ímã em barra em geral é modelado como um dipolo magnético com uma extremidade rotulada como polo norte N e a extremidade oposta rotulada como polo sul S . O campo magnético para o dipolo magnético é simétrico com relação à rotação em torno do eixo, passando, no sentido longitudinal, pelo centro da barra. Logo, podemos estudar o campo magnético restringindo-nos a um plano com o ímã em barra centralizado no eixo x. Para um ponto P localizado a uma distância r da origem, onde r é muito maior que o comprimento do ímã, as linhas do campo magnético satisfazem a equação diferencial d yd x=3 x y2 x^2-y^2. Resolva esta equação e esboce várias dessas linhas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre o campo magnético de um ímã em barra, que é modelado como um dipolo magnético com polos norte (N) e sul (S). A gente precisa resolver uma equação diferencial que descreve as linhas do campo magnético nesse caso. O conteúdo aqui envolve equações diferenciais e métodos de resolução de ODEs. Vamos precisar aplicar um método de substituição para resolver a equação dada.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a equação diferencial que temos:
dydx = 3xy2x^2 - y^2
Essa equação parece um pouco complicada, mas podemos simplificá-la usando uma substituição. Vamos definir uma nova variável v como a razão entre y e x :
v = yx ou y = v cdot x
Isso nos ajuda a reduzir a equação e facilitar a resolução.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada de y em relação a x usando a regra do produto:
dydx = v + x cdot dvdx
Substituímos essa expressão na nossa equação diferencial original:
v + x cdot dvdx = 3x cdot v cdot x2x^2 - (v cdot x)^2 = 3v2 - v^2

Passo 4

Agora, vamos isolar dvdx :
x cdot dvdx = 3v2 - v^2 - v
Simplificando o lado direito:
x cdot dvdx = 3v - v(2 - v^2)2 - v^2 = v + v^32 - v^2
Então temos:
dvdx = v(1 + v^2)x(2 - v^2)

Passo 5

Vamos rearranjar os termos para separar as variáveis v e x :
2 - v^2v(1 + v^2) , dv = dxx
Isso nos coloca na forma onde podemos integrar ambos os lados.

Passo 6

Agora, vamos integrar os dois lados da equação. Primeiro, vamos simplificar a parte da esquerda:
2 - v^2v(1 + v^2) = 2v(1 + v^2) - v1 + v^2
Então, a integral fica:
integral ( 2v(1 + v^2) - v1 + v^2 ) dv = integral dxx

Passo 7

Vamos resolver cada integral separadamente. Primeiro, a integral de 2v(1 + v^2) :
Para isso, usamos a técnica de frações parciais:
2v(1 + v^2) = Av + Bv + C1 + v^2
Resolvendo, encontramos:
A = 2, B = -3, C = 0
Então:
2v(1 + v^2) = 2v - 3v1 + v^2
Agora, a integral fica:
integral ( 2v - 3v1 + v^2 ) dv = integral dxx

Passo 8

Vamos integrar cada termo:
integral 2v , dv = 2 ln |v|
integral -3v1 + v^2 , dv = -32 ln |1 + v^2|
integral dxx = ln |x|
Então, juntando tudo:
2 ln |v| - 32 ln |1 + v^2| = ln |x| + C

Passo 9

Agora, substituímos de volta v = yx :
2 ln | yx | - 32 ln | 1 + ( yx )^2 | = ln |x| + C
Isso é a solução implícita da equação diferencial.

Resposta

A solução implícita da equação diferencial é:
2 ln ( yx ) - 32 ln ( 1 + ( yx )^2 ) = ln |x| + C
Onde C é a constante de integração.

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