Um ímã em barra em geral é modelado como um dipolo magnético com uma extremidade rotulada como polo norte N e a extremidade oposta rotulada como polo sul S . O campo magnético para o dipolo magnético é simétrico com relação à rotação em torno do eixo, passando, no sentido longitudinal, pelo centro da barra. Logo, podemos estudar o campo magnético restringindo-nos a um plano com o ímã em barra centralizado no eixo x. Para um ponto P localizado a uma distância r da origem, onde r é muito maior que o comprimento do ímã, as linhas do campo magnético satisfazem a equação diferencial . Resolva esta equação e esboce várias dessas linhas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre o campo magnético de um ímã em barra, que é modelado como um dipolo magnético com polos norte (N) e sul (S). A gente precisa resolver uma equação diferencial que descreve as linhas do campo magnético nesse caso. O conteúdo aqui envolve equações diferenciais e métodos de resolução de ODEs. Vamos precisar aplicar um método de substituição para resolver a equação dada.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar a equação diferencial que temos:
Essa equação parece um pouco complicada, mas podemos simplificá-la usando uma substituição. Vamos definir uma nova variável como a razão entre e :
Isso nos ajuda a reduzir a equação e facilitar a resolução.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada de em relação a usando a regra do produto:
Substituímos essa expressão na nossa equação diferencial original:
Passo 4
Agora, vamos isolar :
Simplificando o lado direito:
Então temos:
Passo 5
Vamos rearranjar os termos para separar as variáveis e :
Isso nos coloca na forma onde podemos integrar ambos os lados.
Passo 6
Agora, vamos integrar os dois lados da equação. Primeiro, vamos simplificar a parte da esquerda:
Então, a integral fica:
Passo 7
Vamos resolver cada integral separadamente. Primeiro, a integral de :
Para isso, usamos a técnica de frações parciais:
Resolvendo, encontramos:
Então:
Agora, a integral fica:
Passo 8
Vamos integrar cada termo:
Então, juntando tudo:
Passo 9
Agora, substituímos de volta :
Isso é a solução implícita da equação diferencial.