Um modelo simples para a forma de um tsunami (onda gigantesca provocada por maremoto ou tempestade) é dado por
onde
é a altura da onda expressa como uma função de sua posição em relação a um ponto situado longe da costa.
Resolva a equação diferencial.
Resolva a equação diferencial.
Passo 1
Vamos resolver a seguinte equação diferencial que modela a altura de um tsunami em relação à posição em terra firme:
Matéria envolvida: Equações diferenciais, especificamente equações diferenciais separáveis.
O que precisamos para resolver: Entender como separar as variáveis na equação e integrar ambos os lados para encontrar a função
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o tipo de equação diferencial que temos. A equação dada é:
Esta é uma equação diferencial separável, o que significa que podemos reorganizá-la para separar as variáveis
e
em lados opostos da equação.
Passo 3
Vamos separar as variáveis
e
. Para isso, dividimos ambos os lados da equação por
e multiplicamos por
:
Agora, temos todos os termos envolvendo
de um lado e os termos envolvendo
do outro lado, prontos para serem integrados.
Passo 4
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação:
A integral do lado direito é simples:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Focando na integral do lado esquerdo:
Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição que simplifique a expressão. Notamos que
está dentro da raiz, então vamos definir:
Então, derivando ambos os lados em relação a
:
Passo 6
Substituímos
e
na integral:
Mas precisamos expressar
em termos de
. Da substituição
:
Substituindo
na integral:
Simplificando o denominador:
Substituindo de volta na integral:
Passo 7
Agora, vamos simplificar a integral:
Para resolver essa integral, usamos a técnica de frações parciais. Vamos reescrever a fração:
Multiplicando ambos os lados por
:
Para encontrar
e
, escolhemos valores convenientes para
.
Por exemplo, se
:
Se
:
Portanto, a fração parcial fica:
Passo 8
Substituímos de volta na integral:
Calculando cada integral separadamente:
Substituindo de volta:
Simplificando:
Passo 9
Lembrando que
, substituímos de volta:
Simplificando o logaritmo:
Passo 10
Voltando à nossa integral original:
Podemos reorganizar a equação para isolar os termos envolvendo
:
Essa é a solução implícita da equação diferencial dada.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é a constante de integração.