Um modelo simples para a forma de um tsunami (onda gigantesca provocada por maremoto ou tempestade) é dado por
d Wd x=W raiz4-2 W
onde W(x)>0 é a altura da onda expressa como uma função de sua posição em relação a um ponto situado longe da costa.
Resolva a equação diferencial.

Passo 1

Vamos resolver a seguinte equação diferencial que modela a altura de um tsunami em relação à posição em terra firme:
d Wd x = W raiz4 - 2 W
Matéria envolvida: Equações diferenciais, especificamente equações diferenciais separáveis.
O que precisamos para resolver: Entender como separar as variáveis na equação e integrar ambos os lados para encontrar a função W(x) .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o tipo de equação diferencial que temos. A equação dada é:
d Wd x = W raiz4 - 2 W
Esta é uma equação diferencial separável, o que significa que podemos reorganizá-la para separar as variáveis W e x em lados opostos da equação.

Passo 3

Vamos separar as variáveis W e x . Para isso, dividimos ambos os lados da equação por W raiz4 - 2 W e multiplicamos por dx :
d WW raiz4 - 2 W = dx
Agora, temos todos os termos envolvendo W de um lado e os termos envolvendo x do outro lado, prontos para serem integrados.

Passo 4

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação:
integral 1W raiz4 - 2 W , dW = integral 1 , dx
A integral do lado direito é simples:
integral 1 , dx = x + C
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Focando na integral do lado esquerdo:
integral 1W raiz4 - 2 W , dW
Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição que simplifique a expressão. Notamos que 4 - 2W está dentro da raiz, então vamos definir:
u = 4 - 2W
Então, derivando ambos os lados em relação a W :
dudW = -2 Rightarrow dW = -12 du

Passo 6

Substituímos u e dW na integral:
integral 1W raizu (-12 du) = -12 integral 1W raizu , du
Mas precisamos expressar W em termos de u . Da substituição u = 4 - 2W :
2W = 4 - u Rightarrow W = 2 - u2
Substituindo W na integral:
- 12 integral 12 - u2 cdot 1raizu , du = -12 integral 12 - u2 cdot 1raizu , du
Simplificando o denominador:
2 - u2 = 4 - u2 Rightarrow 12 - u2 = 24 - u
Substituindo de volta na integral:
- 12 cdot 2 integral 14 - u cdot 1raizu , du = - integral 1(4 - u) raizu , du

Passo 7

Agora, vamos simplificar a integral:
- integral 1(4 - u) raizu , du
Para resolver essa integral, usamos a técnica de frações parciais. Vamos reescrever a fração:
1(4 - u) raizu = Araizu + B4 - u
Multiplicando ambos os lados por (4 - u) raizu:
1 = A (4 - u) + B raizu
Para encontrar A e B , escolhemos valores convenientes para u .
Por exemplo, se u = 0 :
1 = A (4 - 0) + B cdot 0 Rightarrow 1 = 4A Rightarrow A = 14
Se u = 4 :
1 = A (4 - 4) + B raiz4 Rightarrow 1 = 0 + B cdot 2 Rightarrow B = 12
Portanto, a fração parcial fica:
1(4 - u) raizu = 14 raizu + 12 (4 - u)

Passo 8

Substituímos de volta na integral:
- integral ( 14 raizu + 12 (4 - u) ) du = - ( 14 integral 1raizu , du + 12 integral 14 - u , du )
Calculando cada integral separadamente:
  1. integral 1raizu , du = 2 raizu + C
  2. integral 14 - u , du = - ln|4 - u| + C
Substituindo de volta:
- ( 14 cdot 2 raizu - 12 ln|4 - u| ) + C = - ( 12 raizu - 12 ln|4 - u| ) + C
Simplificando:
- 12 raizu + 12 ln|4 - u| + C

Passo 9

Lembrando que u = 4 - 2W , substituímos de volta:
- 12 raiz4 - 2W + 12 ln|4 - (4 - 2W)| + C = - 12 raiz4 - 2W + 12 ln|2W| + C
Simplificando o logaritmo:
- 12 raiz4 - 2W + 12 ln(2W) + C

Passo 10

Voltando à nossa integral original:
- 12 raiz4 - 2W + 12 ln(2W) = x + C
Podemos reorganizar a equação para isolar os termos envolvendo W :
- 12 raiz4 - 2W + 12 ln(2W) - x = C
Essa é a solução implícita da equação diferencial dada.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
- 12 raiz4 - 2W + 12 ln(2W) = x + C
onde C é a constante de integração.

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