Seguindo as etapas estudadas faça um esboço do gráfico das seguintes funções: (é necessário deixar claro todo o estudo a respeito do comportamento da função.)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente fazer um esboço do gráfico da função
. Isso faz parte do estudo de funções no nosso curso de matemática, onde analisamos como uma função se comporta, tipo onde ela cresce, decresce, e se tem algum ponto especial. Pra resolver isso, vamos precisar olhar pro domínio da função, calcular alguns pontos-chave como interceptos, derivar a função pra ver onde ela tem máximos ou mínimos e, por fim, juntar tudo isso num gráfico maneiro.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o domínio da função. O domínio são todos os valores de
em que a função está definida. A função
está definida para todo número real, e como estamos multiplicando por
, que também é definido em todos os reais, o domínio da função
é
(todos os números reais).
Passo 3
Agora, vamos encontrar os interceptos, ou seja, onde a função cruza os eixos
e
.
- Intercepto com o eixo
: Para achar, basta substituir na função:
Então, o intercepto com o eixo
é no ponto
.
- Intercepto com o eixo
: É onde :
Como
nunca é zero, a única solução é
. Então, o intercepto com o eixo
também é
.
Passo 4
Vamos analisar o comportamento da função olhando sua derivada. A derivada nos ajuda a entender onde a função está crescendo ou decrescendo e a identificar pontos de máximo ou mínimo.
Primeiro, calculamos a derivada de
:
Agora, vamos encontrar onde a derivada é zero para achar possíveis extremos:
Como
nunca é zero, temos:
Então, temos um ponto crítico em
.
Para saber se é máximo ou mínimo, podemos analisar o sinal da derivada antes e depois de
:
- Para
: Escolha :
A derivada é negativa, então a função está decrescendo.
- Para
: Escolha :
A derivada é positiva, então a função está crescendo.
Isso indica que em
temos um ponto mínimo.
Vamos encontrar o valor de
:
Então, o ponto mínimo é
.
Passo 5
Vamos juntar todas as informações pra esboçar o gráfico:
- Dominio: Todos os reais.
- Intercepto com os eixos:
. - Ponto mínimo:
. - Comportamento:
- Para
: função decresce. - Para
: função cresce.
- Para
Além disso, sabemos que conforme
vai para
,
tende a zero pela esquerda, e conforme
vai para
,
cresce sem limites porque
cresce muito rápido.
Então, o esboço vai mostrar a função descendo até
, alcançando o ponto mínimo, e depois subindo indefinidamente.
Resposta
O esboço do gráfico da função
mostra que ela passa pela origem
, atinge um ponto mínimo em
, é decrescente para
, crescente para
, e cresce indefinidamente conforme
aumenta. O domínio é todos os números reais.