Seguindo as etapas estudadas faça um esboço do gráfico das seguintes funções: (é necessário deixar claro todo o estudo a respeito do comportamento da função.)
f(x)=x e^x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente fazer um esboço do gráfico da função f(x) = x e^x . Isso faz parte do estudo de funções no nosso curso de matemática, onde analisamos como uma função se comporta, tipo onde ela cresce, decresce, e se tem algum ponto especial. Pra resolver isso, vamos precisar olhar pro domínio da função, calcular alguns pontos-chave como interceptos, derivar a função pra ver onde ela tem máximos ou mínimos e, por fim, juntar tudo isso num gráfico maneiro.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o domínio da função. O domínio são todos os valores de x em que a função está definida. A função e^x está definida para todo número real, e como estamos multiplicando por x , que também é definido em todos os reais, o domínio da função f(x) = x e^x é R (todos os números reais).

Passo 3

Agora, vamos encontrar os interceptos, ou seja, onde a função cruza os eixos x e y .
  • Intercepto com o eixo y : Para achar, basta substituir x = 0 na função:
f(0) = 0 cdot e^0 = 0
Então, o intercepto com o eixo y é no ponto (0, 0) .
  • Intercepto com o eixo x : É onde f(x) = 0 :
x e^x = 0
Como e^x nunca é zero, a única solução é x = 0 . Então, o intercepto com o eixo x também é (0, 0) .

Passo 4

Vamos analisar o comportamento da função olhando sua derivada. A derivada nos ajuda a entender onde a função está crescendo ou decrescendo e a identificar pontos de máximo ou mínimo.
Primeiro, calculamos a derivada de f(x) :
f'(x) = ddx(x e^x) = e^x + x e^x = e^x(1 + x)
Agora, vamos encontrar onde a derivada é zero para achar possíveis extremos:
e^x(1 + x) = 0
Como e^x nunca é zero, temos:
1 + x = 0 implies x = -1
Então, temos um ponto crítico em x = -1 .
Para saber se é máximo ou mínimo, podemos analisar o sinal da derivada antes e depois de x = -1 :
  • Para x < -1 : Escolha x = -2 :
f'(-2) = e^-2(1 - 2) = -e^-2 < 0
A derivada é negativa, então a função está decrescendo.
  • Para x > -1 : Escolha x = 0 :
f'(0) = e^0(1 + 0) = 1 > 0
A derivada é positiva, então a função está crescendo.
Isso indica que em x = -1 temos um ponto mínimo.
Vamos encontrar o valor de f(-1) :
f(-1) = (-1) e^-1 = -1e approx -0,3679
Então, o ponto mínimo é (-1, -1e) .

Passo 5

Vamos juntar todas as informações pra esboçar o gráfico:
  • Dominio: Todos os reais.
  • Intercepto com os eixos: (0, 0) .
  • Ponto mínimo: (-1, -1e) .
  • Comportamento:
    • Para x < -1 : função decresce.
    • Para x > -1 : função cresce.
Além disso, sabemos que conforme x vai para -infty , f(x) tende a zero pela esquerda, e conforme x vai para +infty , f(x) cresce sem limites porque e^x cresce muito rápido.
Então, o esboço vai mostrar a função descendo até x = -1 , alcançando o ponto mínimo, e depois subindo indefinidamente.

Resposta

O esboço do gráfico da função f(x) = x e^x mostra que ela passa pela origem (0, 0) , atinge um ponto mínimo em (-1, -1e) , é decrescente para x < -1 , crescente para x > -1 , e cresce indefinidamente conforme x aumenta. O domínio é todos os números reais.

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