Quais dos cunjuntos a seguir são conjuntos de cobertura para
? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado fornece o conjunto de polinômios
e pede para decidir se esse conjunto é um conjunto de cobertura para
. Ou seja:
- Qual é a pergunta exata? Verificar se todo polinômio de grau menor ou igual a
pode ser escrito como combinação linear dos polinômios fornecidos. - Quais são as informações dadas? Os três polinômios
, e .
Passo 2
O que significa ser “conjunto de cobertura” (explicação didática):
- Um conjunto
de polinômios é um conjunto de cobertura (ou “gera” o espaço) de se qualquer polinômio puder ser escrito como combinação linear finita dos elementos de . - Uma combinação linear de
tem a forma
onde
são números reais (coeficientes). Explicando as variáveis:
-
são os escalares que escolhemos para combinar os polinômios. - O resultado dessa combinação é um polinômio cujo grau máximo depende dos graus dos polinômios somandos.
Passo 3
Conhecendo o espaço
(aula rápida):
-
é o conjunto de todos os polinômios com coeficientes reais de grau menor ou igual a . Um polinômio genérico em tem a forma
onde
são reais.
- Observação importante: para poder representar qualquer
dessa forma por combinações lineares, precisamos ser capazes de obter um termo em (quando ). Se o conjunto gerador só produz polinômios de grau até , então não conseguirá cobrir .
Passo 4
Análise direta da combinação linear (parte algébrica passo a passo):
Calculemos a combinação geral
Calculemos a combinação geral
Desenvolvendo:
Agrupando termos por potências de
:
Explicando: o coeficiente do
é
, o coeficiente de
é
e o termo constante é
. Note que NÃO aparece nenhum termo em
.
Passo 5
Conclusão lógica a partir do cálculo:
- A combinação linear geral construída a partir dos três polinômios produz sempre um polinômio de grau no máximo
, isto é, da forma
- Portanto não é possível obter um polinômio com termo
com . Em particular, não se consegue representar, por exemplo, o polinômio a partir desses três vetores. - Como existe pelo menos um polinômio em
(por exemplo ) que não se escreve como combinação linear dos três dados, o conjunto não gera .
Passo 6
Argumento por dimensão (resumo alternativo, mais conceitual):
- O espaço
tem dimensão (base usual ). Um conjunto gerador finito de um espaço de dimensão precisa ter pelo menos vetores. Aqui temos apenas polinômios, logo, por contagem de dimensão, não podem gerar todo . - Esse argumento é consistente com a demonstração algébrica anterior.
Resposta
O conjunto
não é um conjunto de cobertura para
.