Quais dos cunjuntos a seguir são conjuntos de cobertura para \mathcal{P}_{3} ? Justifique sua resposta.
\left\{x+2, x+1, x^{2}-1\right\}

Passo 1

O enunciado fornece o conjunto de polinômios
\{\,x+2,\;x+1,\;x^{2}-1\,\}
e pede para decidir se esse conjunto é um conjunto de cobertura para \mathcal{P}_{3}. Ou seja:
  • Qual é a pergunta exata? Verificar se todo polinômio de grau menor ou igual a 3 pode ser escrito como combinação linear dos polinômios fornecidos.
  • Quais são as informações dadas? Os três polinômios x+2, x+1 e x^{2}-1.

Passo 2

O que significa ser “conjunto de cobertura” (explicação didática):
  • Um conjunto S de polinômios é um conjunto de cobertura (ou “gera” o espaço) de \mathcal{P}_{3} se qualquer polinômio p(x)\in\mathcal{P}_{3} puder ser escrito como combinação linear finita dos elementos de S.
  • Uma combinação linear de x+2,\;x+1,\;x^{2}-1 tem a forma
a(x+2)+b(x+1)+c(x^{2}-1),
onde a,b,c são números reais (coeficientes). Explicando as variáveis:
  • a,b,c são os escalares que escolhemos para combinar os polinômios.
  • O resultado dessa combinação é um polinômio cujo grau máximo depende dos graus dos polinômios somandos.

Passo 3

Conhecendo o espaço \mathcal{P}_{3} (aula rápida):
  • \mathcal{P}_{3} é o conjunto de todos os polinômios com coeficientes reais de grau menor ou igual a 3. Um polinômio genérico em \mathcal{P}_{3} tem a forma
p(x)=\alpha x^{3}+\beta x^{2}+\gamma x+\delta,
onde \alpha,\beta,\gamma,\delta são reais.
  • Observação importante: para poder representar qualquer p(x) dessa forma por combinações lineares, precisamos ser capazes de obter um termo em x^{3} (quando \alpha\neq 0). Se o conjunto gerador só produz polinômios de grau até 2, então não conseguirá cobrir \mathcal{P}_{3}.

Passo 4

Análise direta da combinação linear (parte algébrica passo a passo):
Calculemos a combinação geral
a(x+2)+b(x+1)+c(x^{2}-1).
Desenvolvendo:
a x + 2a + b x + b + c x^{2} - c.
Agrupando termos por potências de x:
c x^{2} + (a+b) x + (2a+b-c).
Explicando: o coeficiente do x^{2} é c, o coeficiente de x é a+b e o termo constante é 2a+b-c. Note que NÃO aparece nenhum termo em x^{3}.

Passo 5

Conclusão lógica a partir do cálculo:
  • A combinação linear geral construída a partir dos três polinômios produz sempre um polinômio de grau no máximo 2, isto é, da forma
c x^{2} + (a+b) x + (2a+b-c).
  • Portanto não é possível obter um polinômio com termo \alpha x^{3} com \alpha\neq 0. Em particular, não se consegue representar, por exemplo, o polinômio x^{3} a partir desses três vetores.
  • Como existe pelo menos um polinômio em \mathcal{P}_{3} (por exemplo x^{3}) que não se escreve como combinação linear dos três dados, o conjunto não gera \mathcal{P}_{3}.

Passo 6

Argumento por dimensão (resumo alternativo, mais conceitual):
  • O espaço \mathcal{P}_{3} tem dimensão 4 (base usual \{1,x,x^{2},x^{3}\}). Um conjunto gerador finito de um espaço de dimensão 4 precisa ter pelo menos 4 vetores. Aqui temos apenas 3 polinômios, logo, por contagem de dimensão, não podem gerar todo \mathcal{P}_{3}.
  • Esse argumento é consistente com a demonstração algébrica anterior.

Resposta

O conjunto \{x+2,\;x+1,\;x^{2}-1\} não é um conjunto de cobertura para \mathcal{P}_{3}.

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